【미분적분학 노트】 30. 적분법: 부분적분 - I LATE 규약과 로그함수 적분식 (로다삼지)

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앞선 챕터(【29. 적분법: 부분적분】)에서 우리는 부분적분의 기본 공식을 배웠다. 두 함수 f, g 또는 u, v가 미분 가능할 때, 다음 공식이 성립한다.

 

【미분적분학 노트】 29. 적분법: 부분적분 ※예제포함

 

두 개 이상의 합성함수를 적분할 때, 각각의 함수가 미분가능하면 위 식을 항상 만족하고, 전 챕터에서 풀이 절차는 아래와 같이 소개했다.

이면,

이고, 이는 부분적분식에 대입할 수 있다.

• 부분적분 공식은 곱미분의 결과에 양변을 다시 x에 대해 적분한 것이다.

​

곱의 미분법

x에 대해 양변을 적분

우변의 두 번째 항 ∫f(x)g'(x)dx가 바로 ∫udv이다.

​

I LATE 규약

I LATE Rule

 

그림 1. 로다삼지

 

 

부분적분의 첫 번째 절차로 u와 dv를 구분해야 하는데 계산을 쉽게 하기 위해,

1. 미분하면 간단해지는 함수를 u로
2. 적분하면 간단해지는 함수를 dv로

선택한다.

​

로다삼지: 로그, 다항, 삼각, 지수

대한민국 고교과정에서 함수 선택 요령은 '로다삼지'로 [그림 1]과 같다.

• 우선 순위로 u는 로그함수 → 다항함수 → 삼각함수 → 지수함수 순으로 고른다.

​

로다삼지의 이유로 로그함수와 다항함수는 미분하였을 때 매우 단순한 식이 나온다.

• 로그함수

• 다항함수

​

반면 삼각함수와 지수함수는 미분했을 때 형태가 반복되거나 그대로이므로, 보통 적분하였을 때 간단한 함수로 취급한다.

​

I LATE 규약 | ILATE Rule

한편 대학 과정에서 부분적분의 함수 선택은 미국의 수학자인 허버트 카수베(Herbert Kasube)가 제안(1983)한 아이레이트(ILATE)가 잘 알려져 있다.

• I: 역삼각함수(Inverse trigonometric functions)
• L: 로그함수(Logarithmic functions)
• A: 대수함수(Algebraic functions)
• T: 삼각함수(Trigonometric functions)
• E: 지수함수(Exponential functions)

​

역삼각함수 외 나머지 함수는 앞서 소개한 로다삼지와 정확히 일치한다.

 

 

간단한 예시로,

에서 u는 lnx, dv=xdx로 선택해야 한다. (I LATE 규약에 따르면)

​

I LATE 규약 역시 미분을 했을 때 단순한 식이 나오는 것을 u로 적분했을 때 단순한 식이 나오는 것을 dv로 잡는다.

​

 

예제 1

 

다음 적분을 계산하시오.

SOLUTION.

위 적분의 피적분함수는 합성함수로 로다삼지에 따르면,

로 잡는다.

​

다음 부분적분은, du, v도 계산해야 하기 때문에,

 

로 요소들을 우선 구한다.

​

각각의 함수 u, v는 모두 미분가능한 것들로, 부분적분 식을 만족할 것이다.

우변의 ∫xdx까지 적분하면 최종적으로 식은,

이다.

 

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예제 2

 

다음 적분을 계산하시오.

SOLUTION.

피적분함수는 합성함수이고 I LATE 규약에 따라,

로 내용을 정리할 수 있다.

​

u와 v는 모두 미분가능한 함수들로, 부분적분 식을 만족할 것이다.

우변의 ∫[lnx]dx를 마저 계산하면,

로 최종 값을 구할 수 있다.

 

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로그함수(식) 적분

Integration of Logarithmic Functions

 

I LATE 규약에 따르면, 부분적분 계산에서 로그함수는 미분 시 가장 간단한 꼴이 나오기 때문에 u 또는 f(x)로 우선 선택되고, 또한 적분 계산을 거의 하지 않는다. 하지만 피적분 함수로 로그함수만 주어지는 경우에는 로그함수 적분을 할 수 밖에 없는데, 이를 위한 식은 크게 2가지로 나뉜다.

​

밑이 e인 자연로그 적분

밑이 e인 자연로그 적분은 위와 같은 식을 따르며, 부분적분법으로 계산할 수 있다.

부분적분 식에 적용하면,

이다.

​

∫1dx는 x와 같으므로, 최종적으로 자연로그 적분 결과는 다음과 같다.

​

밑이 a인 로그 적분

밑이 a인 로그 함수 식의 적분은 위와 같다. 이것을 풀기 위해서는 우선 로그 식에서의 밑변환 공식을 활용한다.

따라서,

이고, ∫[lnx]dx는 xlnx-x+C이므로 1/ln(a)를 대입해,

로 최종 계산된다.

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로그함수 적분식

 

​

 

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