【미분적분학 노트】 27. 정적분

【21. 적분의 의미: 넓이 구하기】에서 우리는 곡선 아래 넓이를 구하는 것에 대해 탐구했다.

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【미분적분학 노트】 21. 적분의 의미: 넓이 구하기

 

 

곡선 함수 아래의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 방법은 총 3가지로 특히 왼끝점과 오른끝점의 중간값인 표본점[그림 1]으로 잡은 극한 식은 다음과 같다.

그림 1. 표본점 x_i*의 위치

 

그림 2. 왼끝점과 오른끝점 [출처: 『Calculus Volume 2 (Openstax)』, 2017, p.12)

 

1. 왼끝점(left endpoint) 근사
2. 오른끝점(right endpoint) 근사[그림 2]
3. 표본점(standard point) 근사

특히 표본점 근사는 곡선 길이, 입체 부피, 질량 중심 등 다양한 물리량을 구하는 문제에서도 자주 사용된다. 그리고 수학자들은 이런 형태의 극한에 특별한 이름(정적분)과 기호를 부여했다.

• 만약 f가 a≤x≤b에서 정의된 연속함수라면, 구간 [a, b]를 동일한 폭인 Δx인 n개의 부분 구간들로 나눌 수 있다.

• 정적분은 (1)함수 f(x)가 연속함과 함께(be continuous) (2)음수가 아니며(non-negative), (3)구간 [a, b]에서 정의될 때 아래와 같은 기호 식을 따른다.

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정적분 | Definite Integral

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<의미>

• ∫: 적분기호
• a: 하한(lower limit)
• b: 상한(upper limit)
• f(x): 피적분함수(integrand)
• dx: 적분 변수

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위의 정의는 독일의 수학자인 리만(Bernhard Riemann, 1826-1866)이 정립하였다.

Bernhard Riemann, 1826-1866

 

 

정적분에서 리만합, 리만적분의 의미

정적분 공식에서,

은 특별히 리만합(Riemann sum)이라고 불리는데, 함수 f가 양의 값을 가질 때, 리만합은 함수 그래프 아래의 직사각형들의 넓이 합으로 해석한다.

• 만약 f(x)가 0보다 크거나 같을 때, Riemann sum은 직사각형 넓이의 총합이다.

그림 3

 

그러나 만약 f가 [그림 3]과 같이 양의 면적과 음의 면적을 모두 가지면, 리만합은 x축을 기점으로 위의 면적에 아래 면적을 합한 값이 된다.

• x축 아래에 놓인 직사각형의 넓이는 (-)부호를 갖는다.
• 그러므로, f(x)가 x축 아래까지(f(x)<0) 향하는 경우, 리만합 면적은 (그래프 위 면적) - (그래프 아래 면적) = 순넓이로 해석할 수 있다.

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리만합에서 Δx를 n→∞만큼 합하면 리만적분(Riemann integral)이라 하고, 이것에 더해 lower limit a와 upper limit b를 한정한 특정 값을 정적분이라 한다.

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정적분의 정의로 리만합 면적을 순면적(net signed area)으로 나타낼 수 있다.

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순면적(순넓이, 알짜면적, 알짜넓이) | Net Signed Area

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그림 4

 

[그림 4]에서 순면적을 계산하기 위해 A_1과 A_2를 그림과 같이 잡는다.

• A_1이 A_2보다 크면 순면적 부호는 (+)이다.
• A_1이 A_2보다 작으면 순면적 부호는 (-)이다.

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정적분의 성질

Properties of the Definite Integral

 

정적분의 성질은 크게 6가지로 부정적분의 것과 거의 내용을 공유한다. 다만 상, 하한의 한정성으로 인해 몇 가지가 추가 되었는데 이로인한 파생성질은 직관적으로 이해가능하다.

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1. 구간길이 Δx가 0인 경우

2. 적분 구간의 뒤집기

부호와 상하한의 위치가 함께 바뀐다.

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3. 정적분 합

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4. 정적분 차

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5. 상수배

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6. 구간의 분할

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예를 들어 어떤 함수를 정적분 할 때, a=0, b=8로 잡는다고 가정하자. 이때 구간의 분할이란,

0에서 8 사이의 수를 임의의 값인 c로 잡을 수 있다는 것이다.