【미분적분학 노트】 21. 적분의 의미: 넓이 구하기

적분 ∫

Integral ∫

 

적분(積分, integral)이란, 매우 작은 양을 쌓아가는 수학적 방법으로 미적분학이 등장하기 훨씬 전부터 이미 존재했다. 적분의 현대적 개념과 가장 유사한 최초의 기술(technique)은 고대 그리스의 천문학자인 에우독소스(Eudoxos, 390? BC-340? BC)와 같은 출신의 철학자 데모크리토스(460? BC - 370? BC)의 소진법(method of exhaustion)이다. 이후 아르키메데스(Archimedes of Syracuse, 287 BC - 212 BC)에 의해 더욱 발전되었고, 원넓이, 구 표면적과 부피, 포물선 아래 넓이[그림 1] 등을 계산하는 데 널리 활용되었다.

Archimedes of Syracuse, 287 BC - 212 BC

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그림 1. 아르키메데스의 소진법 [출처: 동아일보]

 

아르키메데스는 포물선과 타원형의 넓이를 구하기 위해 무수히 많은 도형들을 면적에 대입하는 식으로 근사(approximation)해 나갔는데, 이를 특별히 아르키메데스의 소진법이라 하며 후대 다양한 면적을 구하는 데 매우 큰 아이디어로 자리 잡는다.

• 포물선의 경우, 아르키메데스는 두 개의 삼각형과 함께 n개의 사다리꼴 넓이를 모두 합쳐 아래 면적을 계산할 수 있다고 생각했고, 특히 사다리꼴의 개수 n을 늘릴수록 더욱 정확한 계산이 가능하다는 것을 [그림 1]과 같이 직관적으로 확인시켰다.

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무한등비급수 합 | Infinite Geometric Series

 

그림 2

 

 

아르키메데스는 [그림 2]와 같은 특수한 넓이 또한 소진법으로 계산하였는데,

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그림 3

 

그는 [그림 3]과 같이 내접한 삼각형을 무한히 그리는 방식으로 면적을 더욱 정밀하게 계산해갔다. 첫 번째로 내접한 거대한 삼각형의 공백을 없애기 위해 계속해서 내접한 삼각형을 만들어야 하는데, 그들 간에는 기하학적으로 특수학 규칙이 성립하고 이 '무한등비급수의 합'의 원형이라 할 수 있다.

 

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적분은 위와 같이 넓이를 구하는 것에서 출발했는데, 이후 변화량, 함수 등의 개념과 접목되면서 관련 개념이 다음과 같이 정립된다.

• ∫: 적분기호(integral)
• f(x): 피적분함수(integrand)
• a, b: 적분한계 ⇒ 상한(upper limit), 하한(lower limit)
• dx: 적분시 독립변수(variable of integration)

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위의 기호를 계산한 것은 [그림 4]와 같다.

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그림 4

 

upper limit과 lower limit이 정해진 적분 계산을 정적분(定積分, definite integral)이라 하는데, 계산 결과는 한 개의 (면적) 수로 x에 대해 독립적인 것이 특징이다.

• 정적분에서 정(定)이란, 적분 계산에서의 상한과 하한이 '정'해졌다는 의미다.
• upper limit = upper bound, lower limit = lower bound

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예를 들어,

는 y=f(x)=x 함수에서 x=1부터 x=3까지의 곡선 아래 면적(한 개)과 같다.

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곡선 아래 넓이 구하기

Calculating the Area under a Curve

 

직사각형이나 삼각형의 넓이는 이미 공식을 통해 매우 쉽게 구할 수 있다. 하지만 f(x)=x^2인 밑면적[그림 5]을 구하는 것은 생각보다 쉬운 문제가 아니다.

그림 5

 

하지만 역사적인 인물들의 아이디어를 빌려, 곡선을 갖는 밑면적을 구하기 위해서 우리는 현재 아래와 같은 절차를 따른다.

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[1] 곡선함수의 그래프 영역 S를 너비가 같은 직사각형들로 잘게 쪼갠다.

[2] 직사각형을 더 잘게 쪼갤수록 이들의 전체 합은 구하려는 S의 값과 더욱 근사한다.

[3] 직사각형의 수를 무한히 늘렸다 가정하여, '직사각형 넓이의 극한'을 구한다.

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직사각형의 넓이를 설정할 때는 2가지의 방법[그림 6]을 고를 수 있다.

1. 오른쪽 근사: 오른쪽 끝점을 기준으로 전체 영역을 직사각형의 묶음들로 쪼갠다. ⇒ 빨간색
2. 왼쪽 근사: 왼쪽 끝점을 기준으로 전체 영역을 직사각형의 묶음들로 쪼갠다. ⇒ 주황색

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그림 6. 오른쪽 근사(첫 번째 그림)와 왼쪽 근사(두 번째 그림)

 

 

 

여기서 끝점(endpoint)이란, [그림 7]과 같은 지점이다.

그림 7 [출처: 『Calculus Volume 2 (Openstax)』, 2017, p.11]

 

• x축을 기준으로 한 직사각형 영역에서 왼쪽 지점을 왼끝점(left endpoint)라고 한다.
• x축을 기준으로 한 직사각형 영역에서 오른쪽 지점을 오른끝점(right endpoint)라고 한다.

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오른끝점을 잡은 오른쪽 근사와 왼끝점을 잡은 왼쪽 근사를 한 면적의 총합을 각각 R_n, L_n(단, n은 직사각형의 개수)이라 하자.

• 표면적으로 왼쪽 근사의 경우 오른쪽 근사보다 직사각형 개수가 하나 모자란데[그림 6], 그 이유는 f(x)=x^2 그래프의 시작점에서 왼쪽 끝점의 값은 0이므로 전체 직사각형은 0의 넓이를 갖기 때문이다. 둘은 같은 폭의 직사각형을 상정하고 f(x)아래 배치되기 때문에, 왼쪽 근사의 경우에도 넓이가 0인 직사각형을 포함해 4개의 직사각형이 있다고 가정한다.
• 왼쪽 근사와 오른쪽 근사는 그래프에 놓인 위치 차이로 인해 [그림 8]과 같이 S 영역의 값을 서로 다르게 측정한다.

그림 8 [출처: 『Calculus Volume 2 (Openstax)』, 2017, p.12]

 

 

 

따라서 오른쪽 근사와 왼쪽 근사의 총합과 실제 영역 간에는 아래와 같은 대소관계[그림 9]를 갖는다.

 

 

그림 9 [출처: 『Calculus Volume 2 (Openstax)』, 2017, p.13]

 

 

 

그러나 직사각형의 숫자 n을 증가시키면, [표 1]과 같이 두 값이 서로 한 값을 향하는데 아래와 같은 식을 만족한다.

 

 

표 1. n 개수에 따른 왼끝점과 오른끝점에서의 면적

 

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