【미분적분학 노트】 20. 로그함수의 극한

미분적분학 노트 포스팅의 챕터 13에 해당하는 【13. 미분법: 로그함수의 도함수】에서 우리는 로그함수와 관련한 아래 사항들을 배웠다.

1. 로그함수의 정의
2. 로그함수 그래프의 특징
3. 로그함수의 도함수
4. 자연로그

https://blog.naver.com/moduphysics/224265119569

【미분적분학 노트】 13. 미분법: 로그함수의 도함수

 

 

복습: 로그함수의 특징

Review: Characteristics of Logarithm Functions

 

로그함수는 지수함수의 역함수로 지수함수와는 다음과 같은 관계식을 만족한다.

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​<의미>

• 밑(base) a ⇒ 지수함수의 밑은 로그함수로 변환될 때 그대로 '밑방향'으로 이동한다.
• 지수(exponent) x ⇒ 지수함수의 지수 x는 로그함수의 계산값(계산결과)이다.
• 지수함수 계산값(value of exponential function) y ⇒ 지수함수의 계산값(계산결과) y는 로그함수의 '밑윗자리'이다.
• log: logarithm 기호

 

그림 1. 지수함수, 로그함수 각 숫자의 위치

 

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[그림 1]에서도 알 수 있듯 로그함수란 결국 (1)지수함수의 exponent를 알기 위해 (2)밑 a과 지수함수 계산 결과인 value를 log식에 대입한 꼴이다.

• 로그함수가 갖는 개별 요소들은 지수함수를 기준으로 이름 붙여진다.

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로그와 지수가 서로 역함수가 되는 관계를 아래와 같이 쓸 수도 있다.

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로그함수의 성질

로그함수의 value가 어떤 수 M, N으로 분리되는 경우, 아래 식을 만족한다.

 

 

• 로그의 value 값이 곱셈일 경우, 덧셈으로 바뀐다.
• 로그의 value 값이 나눗셈일 경우, 뺄셈으로 바뀐다.
• 밑이 서로 같은 로그의 덧셈, 뺄셈 식에 대해서 역이 성립한다.

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또한 로그의 특별값은 다음과 같다.

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Value가 1인 로그값

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Value가 Base와 같은 로그값

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로그의 밑 a를 변환할 수 있는 공식 또한 반드시 암기하도록 한다.

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로그 밑변환 공식

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로그 밑변환 공식은 상용로그를 밑이 e인 자연로그의 분자(밑), 분모(value)로 각각 바꾸어 쓸 수 있음을 풀어쓴 식이다.

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로그함수 그래프 분류

지수함수에 배운 밑의 제한 조건이 여기서도 그대로 적용되는 동시에 밑의 범위에 따라 두 가지의 다른 그래프가 그려진다.

• 로그함수에서 밑의 조건: 밑 a는 0을 초과하는 값이며, 동시에 1의 값은 가지지 않아야 한다. 즉, a>0, a≠1을 동시에 만족해야 한다.

 

 

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또한 로그함수는 x>0라는 조건이 더 붙는다.

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지수함수를 생각했을 때 음수나 0은 지수형으로 만들 수 없기 때문이다. 예를 들어,

와 같은 식을 만족하는 실수 x는 없다.

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Case 1. 로그함수의 구분: 0<a<1

 

그림 2

 

밑 a가 0초과 1미만의 값을 가질 때 그래프의 개형은 [그림 2]와 같다.

1. x가 무한대를 향하면(x→∞), y의 값은 한없이 -∞에 가까워진다.
2. x가 0을 향하면(x→0+), y의 값은 한없이 커진다.

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Case 2. 로그함수의 구분: a>1

 

그림 3

 

밑 a가 1을 초과한 값을 가질 때 그래프의 개형은 [그림 3]과 같다.

1. x가 무한대를 향하면(x→∞), y의 값은 한없이 커진다.
2. x가 0을 향하면(x→-0+), y의 값은 음수이면서 절댓값은 한없이 커진다.

 

​	a>1 (a≠1)	0<a<1
함수 경향	증가함수	감소함수
점근선	x=0	x=0
교차점	(1,0)을 지남	(1, 0)을 지남
정의역 / 치역	x>0 / 모든 실수	x>0 / 모든 실수

 

로그함수의 극한

Limits of Logarithm Functions

 

지수함수 때와 마찬가지로 밑의 범위에 따라 로그함수의 극한 공식으로 정리할 수 있다.

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밑이 0<a<1일 때 지수함수의 극한

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밑이 a>1일 때 지수함수의 극한

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밑이 e인 로그함수를 자연로그라고 배웠는데, 이것과 관련한 중요한 극한 2개를 함께 알아보자.

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자연로그의 기본 극한

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자연로그의 기본극한은,

 

 

을 일반꼴로도 표현가능하며 증명은 다음 챕터에서 자세히 알아보겠다.

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자연로그의 밑 e의 기본 극한

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자연로그의 밑 e가 들어간 극한 식 또한,

 

 

와 같은 일반꼴로 표현가능하다. 마찬가지로 증명은 다음 챕터에서 자세히 알아보도록 한다.