【미분적분학 노트】 19. 지수함수의 극한

 

미분적분학 노트 포스팅에서 챕터 12에 해당하는 【12. 미분법: 지수함수의 도함수】에서 우리는 지수함수와 관련한 아래 사항들을 배웠다.

1. 지수함수의 형태와 그래프 특징
2. 지수법칙
3. 자연로그 밑 e
4. 지수함수의 도함수

https://blog.naver.com/moduphysics/224256579142

【미분적분학 노트】 12. 미분법: 지수함수의 도함수 (feat. 자연로그 밑 e의 역사)

 

 

복습: 지수함수의 특징

Review: Characteristics of Exponential Functions

 

만약 지수함수를 y=a^x라고 했을 때, a는 밑(base)이고, x는 지수(exponent)이다.

• 밑의 조건: 밑 a는 0을 초과하는 값이며 동시에 1의 값은 가지지 않아야 한다. 즉, a>0와 a≠1을 동시에 만족해야 한다.

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Case 1. 0<a<1

그림 1

 

 

밑 a가 0초과 1미만의 값을 가질 때 그래프의 개형은 [그림 1]과 같다.

1. x가 무한대를 향하면(x→∞), y의 값은 한없이 0에 가까워진다.
2. x가 음의 무한대를 향하면(x→-∞), y의 값은 한없이 커진다.

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만약 밑 a가 1/2이면 위의 지수함수의 구분에 속하고 무한대로 향했을 때 값은 다음과 같다.

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Case 2. a>1

그림 2

 

 

밑 a가 1을 초과한 값을 가질 때 그래프의 개형은 [그림 2]와 같다.

1. x가 무한대를 향하면(x→∞), y의 값은 한없이 커진다.
2. x가 음의 무한대를 향하면(x→-∞), y의 값은 한없이 0에 가까워진다

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예를 들어 밑 a가 2이면 아래 지수함수의 구분에 속하고, 무한대로 향했을 때의 실제 그래프 개형은 [그림 3]과 같다. 또한 밑 a의 값이 커질수록 지수함수의 상승폭(기울기)은 더욱 가파르다.

 

그림 3. 밑 b의 크기에 따른 지수함수의 모양 변화 [출처: 『Calculus Volume 1 (Openstax)』, 2017, p.321]

 

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지수함수의 핵심사항

지수함수는 밑의 크기에 따라 2가지로 나뉜다. 또한 이들 둘에는 공통의 특성이 내포되는 데 핵심적인 사항들은 아래와 같다.

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1. 지수함수 그래프는 항상 x축의 위에 존재한다.

지수함수의 밑은 항상 양수이기 때문에, 그래프를 그리면 항상 x축 위에 존재한다.

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2. 지수 x=0이면 밑이 어떤 값이든 항상 1이다. 즉, 모든 지수함수는 (0, 1)을 반드시 지난다.

3. 지수함수는 모든 실수에서 연속이다.

그래프(개형)로 나타낸 지수함수는 모든 실수 범위에 대해 항상 연속한 값을 가진다. 따라서 아래의 값을 만족하며,

미분 가능하다.

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또한 r자리에 0과 1을 각각 넣으면,

이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

 

지수함수의 극한

Limits of Exponential Functions

 

앞에서 이미 설명하였듯, 지수함수의 극한은 밑의 범위에 따라 다음과 같이 정리할 수 있다.

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밑이 a>1일 때 지수함수의 극한

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밑이 0<a<1일 때 지수함수의 극한

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또한 exponent x자리에 0과 1을 값을 넣으면 특수한 값들을 얻을 수 있다.

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지수 x=0일 때 지수함수의 극한

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지수 x=1일 때 지수함수의 극한

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위 두 가지 공식은 지수함수의 핵심사항에서 언급한 마지막 내용과 정확히 같다.