【미분적분학 노트】 16. 적용: 생물의 이형성(Allometric Growth) - 중생대 시기 어룡 표본(상대성장률 계산)

 

생물의 이형성이란

What is Allometric Growth?

 

D'Arcy Thompson, 1860-1948

 

 

생물이 갖는 이형성 또는 이형성장이란, 몸의 특정한 부위가 다른 부위에 비해 성장 속도가 현저하게 차이가 나는 현상으로 스코틀랜드의 생물학자 다시 톰프슨(D'Arcy Thompson, 1860-1948)에 의해 최초로 연구[그림 1]되었다. 톰프슨은 생물의 형태는 물리-수학적 법칙에 근거하여 확신하였고, 다양한 생물의 발생 형태(표현형)를 수치로 남겼다.

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그의 유산에 따르면, 생물학에서 체적 스케일링(scaling)은 수학적으로 표기 가능한 일종의 규칙으로, 일반적인 이형성 방정식은 아래와 같은 꼴을 취한다.

 

<의미>

• Y: 생물학적 변수(biological variable)
• M: 생물의 크기 척도(measure of body size)
• b: 스케일링 지수(scaling exponent)

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위의 식은 일반적인 allometric growth을 수식화한 것으로, 생물체의 종류 및 특성에 따라 구체적인 수치를 갖는 지수함수의 형태로 나타난다.

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그림 1. 그의 저서에서 소개한 물고기 형태의 이형성 [출처: 『On Growth and Form』]

 

어룡과 어룡 두개골의 이형성

Ichthyosaurs and Its Skull Length

 

어룡(이크티오사우르스) | Ichthyosaurs

 

그림 2. 어룡의 일반적인 형태

 

 

어룡은 약 2억 5천 1백만 년 전부터 약 9천만 년전(백악기 초기)까지 약 1억 4천 년 간 바다를 지배한 해양 파충류[그림 2]이다. 우리가 생각하는 물고기 또는 돌고래의 형태와 매우 비슷하나 그 크기는 종에 따라 3-12m가량으로 다양하며, 고생물학자이자 화석 수집가인 메리 애닝(Mary Anning, 1799-1847)에 의해 최초로 완전한 어룡 두개골을 발견(1811)되면서 그 연구가 시작되었다.

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(다만, 당시 메리 애닝은 매우 어린 소녀 시절로 오빠였던 조셉 에닝과 함께 어룡 두개골을 발견 및 수집 보관했다.)

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Mary Anning, 1799-1847

 

어룡 두개골과 척추 길이의 관계: 상대 성장률

 

그림 3. 『Introduction to Paleobiology and the Fossil Record』

 

 

1997년 고생물학자인 마이클 벤튼과 데이빗 하퍼는 자신들의 저서[그림 3]에서 다음과 같은 흥미로운 공식을 제시했다.

<의미>

• S: 어룡의 두개골 길이, 단위 [cm]
• B: 어룡의 척추 길이, 단위 [cm]

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20개의 어룡 화석 골격을 대상으로 위와 같은 식을 세웠으며 이것을 풀어 아래와 같이 allometric 방정식을 쓰기도 한다.

생물의 크기 성장은 부위와 상관없이 시간(age)을 공통 변수로 갖는다. 따라서 S와 B는 나이에 따라 변하는 함수 S(t), B(t)로 고쳐쓸 수 있다.

<의미>

• S(t): 특정 시간 t에서의 어룡의 두개골 길이
• B(t): 특정 시간 t에서의 어룡의 척추 길이

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만약 위의 변수 S(t)와 B(t)를 t에 대해 미분해보면 chain rule을 적용해 다음과 같이 미분될 것이다.

B(t) 또한 t의 함수임에 유의하자. ⇒ dB/dt가 나온 이유

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다음, 원래 식 S(t)=1.162[B(t)]^0.933을 이용해 dS/dt 식을 아래와 같이 정리할 수 있다.

양변을 S(t)로 나누면,

이다.

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위 식은 두개골의 상대 성장률로 척추에 대해 상대적으로 성장률이 93.3%임을 뜻한다.

• 척추가 두개골 보다 좀 더 빠르게 성장한다. ⇒ [그림 4]의 기울기 참조
• 척추가 100% 성장하는 동안 두개골은 93.3% 더 천천히 성장한다.
• 어린 개체일수록 머리의 비율이 더 크다.

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위의 수치적 해석을 통해 만약 익룡의 화석 개체 중 두개골과 척추가 동시에 발견되는 경우, 그 개체의 나이를 추정할 수 있다.

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그림 4. 익룡의 두개골 길이와 척추 길이의 관계 [출처: 『Introduction to Paleobiology and the Fossil Record』, Benson & Harper, 2008, p.142]

 

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