【미분적분학 노트】 14. 함수의 연속성

 

미분을 함에 있어 '연속성'이란, 단순하게 그래프 상의 모든 지점이 연결되어 있다는(그래프가 끊기지 않았다는) 직관적 추상을 넘어 정의(definition)를 갖는 중요한 개념이다.

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연속의 정의에 대해 자세하게 들어가기에 앞서, 함수 f(x)가 x=a에서 연속이기 위한 조건 3가지를 아래와 같이 정리할 수 있다.

 

 

 

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또는 일반적인 교재의 경우에는 아래와 같이 적기도 한다.

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연속의 세 가지 조건

Three Conditions for 'Be Continuous At'

 

함수 f(x)가 x=a 지점에서 연속하기 위해서는 앞선 '세 가지 조건'을 만족해야 한다. 그리고 자연의 많은 현상은 실제로 (충분히) 연속적으로 보이기에, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변하는 것을 쉽게 알 수 있다.

• 쉽게 말해 연속함수를 그래프로 그릴 경우에는 펜을 절대 떼지 않고 그릴 수 있다.
• 그리고 연속적인(연속한) 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다.

 

그림 1

 

 

예를 들어, [그림 1]과 같은 함수의 그래프를 보고, a, b, c 지점의 연속성을 아래와 같이 정리할 수 있다.

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1. x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다. ⇒ 함수는 불연속한다.
2. x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의된다. 그러나 lim_{x→b}[f(x)]는 정의되지 않는다. 왜냐하면 좌극한과 우극한이 서로 다르기 때문이다.

• 좌극한: 검은 점
• 우극한: 흰 점

 

⇒ 따라서 x=b 지점에서도 함수는 불연속하는 것으로 해석된다.

 

3. x=c에서 좌극한과 우극한은 서로 같다. ⇒ (흰 점)

그러나 f(c)는 (검은 점)으로 함수의 연속 정의의 세 번째 조건(lim_{x→a} [f(x)]=f(a))을 만족하지 못한다. ⇒ 따라서 x=c 지점에서도 함수는 불연속한다.

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[그림 2]와 같은 그래프는 지점 a에서 '불연속적(discontinuous)'인 대표적인 예제들로,

 

그림 2

 

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세 가지 그래프는 아래와 같은 이유로 discontinuous functions(특정 지점 a에 끊긴 함수)임을 보인다.

1. [그림 2]의 첫 번째 그림: f(a)가 정의되지 않았다.
2. [그림 2]의 두 번째 그림: f(a)는 검은 점으로 정의되었다. 그러나 좌극한과 우극한이 달라 limf(x)가 존재하지 않는다.
3. [그림 2]의 세 번째 그림: f(a)는 검은 점이고, lim_{x→a}[f(x)]는 흰 점이다.

 

함수의 연속성은 (1)방향 연속성과 (2)구간 연속성의 특성 또한 갖는다.

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방향 연속성

 

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구간 연속성

함수 f가 어떠한 구간의 모든 점에서 연속할 때, f는 그 구간에서 또한 연속이다.

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연속하는 함수는 다음과 같다.

 

1. 다항식(polynomials)

2. 유리함수(rational function)

3. 제곱근 함수

4. 삼각함수

5. 역삼각함수

6. 지수-로그 함수

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불연속점 | Point of Discontinuity

미적분학에서 대표적인 불연속점(point of discontinuity)은 크게 3가지이며, 그래프(모습)는 [그림 3]과 같다.

 

그림 3

 

1. 제거 가능 불연속점(removable discontinuity): 좌극한과 우극한이 서로 일치하나 f(a)의 값은 극한 값과 다르다.
2. 비약 불연속점(jump discontinuity): 좌극한과 우극한이 서로 일치하지 않는다.
3. 무한 불연속점(infinite discontinuity): 좌극한과 우극한의 불연속점이 무한대를 향한다.