【미분적분학 노트】 15. 미분법: 음함수 미분법

 

음함수

Implicit Function

 

앞에서 배운 함수는 y=f(x)꼴로 y가 x에 대해 명확히 표현된다. 하지만 아래와 같은 식을 살펴보자.

좌변을 y의 꼴로 정리하기 힘든 함수꼴을 F(x, y)라 하며, 이를 음함수라 한다.

• 양함수는 마치 y를 고정시킨 상태에서 우변에 x항을 모은 형태를 띈다.

예를 들어 아래와 같이 x^2+y^2=25라는 식이 있을 때 이는 원의 방정식이며, 반지름이 5인 원[그림 1]을 쉽게 떠올릴 수 있다.

그림 1 [출처: Openstax University Physics Vol 1 (Ling et al, 1st ed., 2017, p.310)]

 

만약 이 식을 y에 대해 풀고자 한다면, 아래와 같이 2개의 식이 도출된다.

​

y에 대해 푼 두 식은 각각 [그림 2]와 같이 그려진다. 그리고 이를 합한 것은 결국 [그림 1]의 원과 정확히 일치한다.

그림 2 [출처: Openstax University Physics Vol 1 (Ling et al, 1st ed., 2017, p.310)]

 

위 예제를 통해, 음함수는 좌변을 y에 대해 단일한 식으로 푸는 것이 불가능함을 알 수 있다.

• 원의 방정식은 x 하나에 대해 y는 두 개의 값이 대응되므로 함수가 아니다. 단, 공역(codomain)을 어떤 범위로 놓느냐에 따라 x 하나에 대응되는 한 개의 y 값이 나오고 이는 [그림 2]와 같이 함수 성질(일대일 대응, 전단사 함수)을 만족한다.

​

또한 이러한 특징으로 인해 x항과 y항 모두를 좌변으로 넘겨 =0(equal to zero)꼴로 만들 수 있는데, 이로써 음함수를 아래와 같이 정의할 수 있다.

​

음함수의 정의

■

 

음함수 미분법

Implicit Differentiation

 

원의 방정식은 대표적인 음함수로 반지름이 5인 원의 방정식을 미분해보자.

음함수 미분법의 핵심적인 전제는 y가 x의 함수라는 점이다. 따라서 음함수에 해당하는 양변 모두 x에 대해 미분이 가능하다.

​

Mind that y is a function of x.

음함수에서 y는 x의 함수이다.

 

​

y는 x의 함수이므로, 위의 음함수 양변을 x에 대해 미분을 취하면,

와 같이 적을 수 있는데, 특히 d[y^2]/dx는 y를 x라 상정했을 때의 미분 값에 dy/dx를 곱한 꼴로 적어준다.

두 번째 항의 2y는, x에 대해 미분하기 위해 y를 x로 상정했을 때의 미분값인 2x의 x를 다시 y로 바꾼 것이다.

​

다음 위의 식을 dy/dx 꼴로 고치면 아래와 같다.

원의 모양을 한 음함수를 미분한 뒤 나온 dy/dx=-(x/y)는 [그림 3]과 같은 원 위 한 점에서의 접선 기울기이다.

 

그림 3. 원의 접선기울기

 

 

• -(x/y)에서 마이너스 부호는 접선 기울기가 우하향함을 나타낸다.
• (x, y) 지점에서 접선 기울기는 x가 커질수록 y는 줄어드는 모양을 갖는다.

​

「예제 1」

음함수 중 조금 더 복잡해 보이는 아래 식을 미분(dy/dx)해보자.

 

 

원의 방정식을 미분한 것처럼 먼저 각 항에 대해 미분을 취한다.

 

 

좌변은 분리가능하고, 우변은 최종적으로 4로 계산된다.

 

 

y는 x에 대한 함수이기 때문에, 좌변의 첫 번째 항은 product rule을 써서 다음과 같이 계산한다.

 

 

계속 계산하면,

 

 

이고,

 

 

이다.

​

위의 식에서 공통인수인 dy/dx를 밖으로 빼내면(factor out dy/dx),

 

 

이고, 마지막으로 좌변의 1/(괄호식)을 양변에 곱하면,

 

 

dy/dx를 최종적으로 구할 수 있게 된다.

​

음함수 미분법에서 핵심적인 전제는 앞서 언급하였듯 'y는 x에 대해 미분할 수 있는 함수'라는 사실이다.

​

음함수 미분법

[1] 방정식의 양변을 미분한다. 또는 F(x, y)=0꼴로 만든 다음 좌변을 위주로 x에 대해 미분한다.

[2] 좌변에서 dy/dx를 묶어낸다. (공통인수를 빼낸다.)

[3] dy/dx를 구하기 위해 적절하게 대수적으로 식을 조작한다. (양변 나누기 등)

■