【미분적분학 노트】 18. 역도함수

 

역도함수란 무엇인가?

What is an Antiderivative?

 

역도함수(antiderivative): 어떤 함수를 미분했을 때의 결과 값으로부터 원래 함수를 찾는 과정 또는 그 원래 함수 그 자체를 역도함수라 한다.

• 역도함수란, 미분하기 전의 어떤 함수로 그 함수를 구하기 위해 미분된 결과 함수를 통해 '역'으로 추적한다.
• 부정적분(indefinite integral): 역도함수를 구하는 과정 ⇒ 적분 파트에서 더욱 상세히 배우도록 한다.
• 역도함수의 첫 추론은 '이 함수가 무엇을 미분한 결과인가?'라는 질문에서 출발한다.

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역도함수의 수학적 정의

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함수 F가 또 다른 함수 f에 대해 어떤 구간 I에서 F'(x)=f(x)를 만족할 때, 함수 F는 구간 I에서 f의 역도함수이다.

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그림 1. f(x)=3x^2의 그래프

 

만약 f(x)가 3x^2라고 주어질 때[그림 1], 역도함수 F는,

라 쉽게 떠올릴 수 있다. 왜냐하면 d[F(x)]/dx를 했을 때 결과가 3x^2인 것을 우리는 이미 미분 파트를 통해 쉽게 구할 수 있기 때문이다.

하지만 이것이 '유일한' 답은 아니다. 예를 들어,

를 미분해도 F'(x)=3x^2가 나오기 때문이다. 즉, x^3 뒤 더해진 상수는 어떤 식으로든 미분 값이 0으로 나오기에, F(x)를 단순히 x^3이라 하기 보다는,

이라 생각해야 한다.

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즉, 역도함수 F는 항상 적분상수 C를 포함한다.

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그림 2. f(x)=3x^2의 역도함수 그룹(군)

 

 

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F(x)는 (1)역도함수이며, (2)[그림 2]와 같이 다양한 적분상수 C를 포함하기 때문에 그룹(군, 群)을 이룬다. 위 역도함수 군의 한 가지 특징은 함수들이 모두 세로 방향으로 평행이동한다는 것이다.

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역도함수의 따름정리

역도함수의 따름정리(corollary)은 크게 2가지이며, 각각은 아래와 같이 알려져 있다.

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역도함수 따름정리 1

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함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속하고, 열린구간 (a, b)에서 미분가능하며, f'(x)=0이면 F는 상수함수이다.

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따름정리 1은, 도함수가 항상 0일 때 원함수(원시함수, 역도함수)는 상수임을 뜻한다.

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역도함수 따름정리 2

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만약 F(x)와 G(x)가 함수 f(x)의 역도함수라면, G(x)=F(x)+C인 상수 C가 존재한다.

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따름정리 2는, 같은 f(x)함수의 역도함수 F와 G 사이에는 서로 '상수 C 차이만' 남을 의미한다.

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만약 f(x)=2x일 때, 역도함수들은 다음과 같이 상수 차(difference)를 가질 수 있다.

• F(x)의 상수로 그 크기는 +5, -100 등 다양한 값들이 올 수 있다.

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따라서 역도함수는 다음과 같은 일반식으로 표현가능하다.

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역도함수

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<의미>

• ∫: 적분기호, 인테그랄(integral)
• f(x): F에 대한 도함수, dF/dx로 표기할 수 있다.
• F(x): f에 대한 역도함수, 원시함수, 원함수
• C: 상수

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예를 들어, f(x)=2x일 때 antiderivative F는 역도함수 식으로 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다.

[1] f(x) 값을 적분기호 인테그랄 안에 넣는다.

[2] F(x)는, 2x를 도함수라고 생각했을 때 원시함수를 역추적하거나, 또는 역도함수표를 통해 그 값을 구한다.

[3] 역도함수는 반드시 적분상수 C를 포함한다. ⇒ 다양한 적분상수를 가질 수 있기 때문에 [그림 3]과 같이 역도함수들은 group을 이룬다.

그림 3. f(x)=2x의 역도함수군 [출처: 『Calculus Volume 1 (Openstax) 』 , 2017, p.488]

 

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역도함수표

Table of Antiderivatives

 

우리는 역도함수를 구하는 과정이, 주어진 도함수 f(x)가 어떤 함수 F에 의해 도출되었는 지 추론하는 것임을 알았고, 수학자들은 나아가 이를 '어떤 함수의 도함수를 구하는 과정의 역순'임을 증명했다. 어떤 도함수로부터 구해지는 역도함수는 다른 도함수 식들과 마찬가지로 규칙성을 띠고 있고, 이는 [표 1]과 같이 알려져 있다.

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표 1. 역도함수표 F(x)=∫f(x)dx+C [출처: 『Engineering Mathematics 』 , 2017, p.431]

 

예를 들어, 어떤 도함수 f(x)=3x^2+cosx+1/x라고 했을 때 역도함수는 위의 표를 활용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

[1] 적분은 각각 나누어 계산할 수 있다.

[2] 첫 번째 항

[3] 두 번째 항

[3] 세 번째 항

[4] 각 항의 적분 값들을 모두 더하면 최종 답은 아래와 같다.