【미분적분학 노트】 22. 미적분학의 기본정리(FTC)

 

미적분학의 기본정리(FTC)

Fundamental Theorem of Calculus(FTC)

 

Isaac Barrow, 1630-1677

 

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영국의 수학자이자 고전학자인 아이작 배로(Isaac Barrow, 1630-1677)는 미적분학에서 다루어지는 적분(integration)과 미분(differentiation)이 서로 역연산(逆演算, inverse operation)이라는 것을 처음으로 인지했다. Barrow의 직관적 발견은 이후 '미적분학의 기본정리(fundamental theorem of Calculus(FTC))'라는 이름으로 정리되며, 이전까지는 서로 관련이 없었던 미분과 적분을 연결해주었다.

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미적분학의 기본정리 1 | FTC 1

적분 개념을 배울 때, 우리는 함수 f 개념을 접목하면서 아래와 같음을 학습했다. 예를 들어,

라는 (정)적분으로 정의된 함수 g(x)는,

그림 1

 

[그림 1]과 같이 특정한 넓이로 나타나는데, 여기서 f는 [a, b] 구간에서 연속한 함수이고, x는 x∈[a, b]이다.

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그림 2

 

다음, [그림 2]와 같이 h의 폭을 가진 작은 직사각형의 넓이는 아래와 같이 구할 수 있다.

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[1] h의 폭을 가진 작은 직사각형의 밑변은 h=f(x+h)-f(x)이고, 높이는 f(x)이다. 따라서 작은 직사각형의 넓이 A는 다음과 같이 (밑변)×(높이) 공식으로 아래와 같이 풀 수 있다. ⇒ 위의 가정에서 핵심은, h의 폭을 매우 잡게 잡았기 때문에 높이인 f(x)는 한 개의 값으로 근사했다는 점이다.

[2] h의 폭을 가진 작은 직사각형의 넓이 A는 또한 정적분 g(x)의 개념을 통해,

라고 할 수 있다.

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[3] [과정 1]과 [과정 2]의 식을 조합하면, 함수 f(x)에 대한 식을 얻을 수 있다.

 

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[4] h의 폭을 매우 좁게 잡은 것은, h>0이면서 h→0에 다가가는 극한을 취하는 것과 같다.

정적분으로 정의된 함수를 미분하였더니, 적분의 대상이 되었던 함수 f가 나왔다. 즉, 함수 f를 적분해서 나온 값 함수 g를 다시 미분하면 원함수(원상태)인 f로 돌아온다. ⇒ 미분과 적분은 서로 역연산의 관계이다.

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그림 3

 

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미적분학의 기본정리 1

만약 f(t)가 [a, b]인 구간에서 연속한다면,

로 정의된 함수 g(x)는 구간 [a, b]에서 연속하고, 구간 (a, b)에서 미분가능하며, g'(x)=f(x)라 할 수 있다.

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여기서 g(x)는 [그림 3]의 y=f(t) 곡선 아래의 넓이와 같은데, g는 적분에서 upper bound 값인 x에만 영향을 받는다.

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미적분학의 기본정리 2 | FTC 2

정적분의 수학적 정의는 아래와 같은 리만합 공식으로 무한급수를 계산해야 된다는 단점이 있다.

 

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하지만 미적분학의 기본정리 2는 기본정리 1을 통해 얻어진 g'(x)=f(x)를 활용해 적분 계산을 훨씬 간단하게 만든다.

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미적분학의 기본정리 2

f(x)가 [a, b]인 구간에서 연속하고, F가 f의 임의의 원시함수이며, F'=f의 성질을 띨 때,

이다.

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도함수가 f로 알려진 함수 F가 존재한다면 그것을 f의 원시함수 또는 역도함수(antiderivative)라 한다. ⇒ 역도함수의 개념은 챕터 18 【18. 역도함수】에서 자세히 다루고 있다.

 

https://blog.naver.com/moduphysics/224294973261

【미분적분학 노트】 22. 미적분학의 기본정리(FTC)

 

어떤 함수의 원시함수를 구할 수 있으면 FTC2는 함수의 정적분을 계산하는 데 매우 강력한 방법이 된다. 원시함수를 쉽게 다룰 수 있는 표기법은 기본정리에 의해 주어진 원시함수와 적분 사이의 관계 때문에, 부정적분으로 표현하는데, 정의는 다음과 같다.

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부정적분

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<의미>

• f(x): 피적분함수
• F(x): 원시함수, 역도함수
• C: 적분상수

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간단한 부정적분의 계산은 위와 같은 역도함수 표를 통해 쉽게 구할 수 있다.