【미분적분학 노트】 23. 부정적분 ※예제포함

​

부정적분은 어떤 함수의 도함수를 거꾸로 찾아가는 과정이며, 이를 통해 나온 함수를 역도함수 또는 원시함수라 한다.

• 부정적분은 미분의 역연산이다.
• 부정적분이 되어 나온 함수를 원래 함수의 (1)부정적분(값), (2)역도함수, 또는 (3)원시함수라고 다양하게 부른다.

그림 1

 

만약 [그림 1]과 같이 어떤 함수 F를 미분했을 때,

 

이면 부정적분은,

이다. 여기서 C는 적분상수이다.

• 피적분함수 f(x)는 원래 함수 F(x)를 미분했을 때 나온 값이다.

 

거듭제곱 함수의 부정적분

Power Rule for Integrals

 

자주 사용하는 적분 공식으로 거듭제곱 함수의 부정적분은 다음과 같다.

​

거듭제곱 함수의 부정적분

■

​

거듭제곱 함수의 부정적분에서 유의해야 할 점은, 위와 같은 식을 만족하는 거듭제곱 n이 -1이 되면 안된다는 사실이다.

​

n이 만약에 -1이라면,

이고, 이를 마저 계산하면

이 된다.

​

그런데 x^0은 1이기 때문에, 1/0으로 쓸 수 있다. 하지만 수학에서는 0으로 나눈 값은 정의가 되지 않는다. 이 때문에, 거듭제곱 함수의 부정적분 식의 오른쪽 항이 성립하기 위해서는 반드시 n≠-1이라는 조건이 붙어야 한다.

​

또한 거듭제곱 함수의 부정적분은 아래와 같은 식 계산으로부터 유도되었다.

만약 피적분함수가 2x일 경우, 부정적분 공식을 쓰면 아래와 같이 계산된다.

그리고 적분상수 C를 임의의 정수값(-2, -1, 0, +1, +2)으로 반영해 그래프를 그리면 부정적분값은 [그림 2]와 같이 족(family)을 이룬다.

그림 2. 2x의 역도함수군(Family of Antiderivatives of 2x)

 

​

​

만약 피적분함수가 x^3이면, 부정적분값은 아래와 같이 계산된다.

​

n=-1일 때 거듭제곱 함수의 부정적분

■

​

한편 x^-1의 경우에는 n=-1일 때의 거듭제곱 함수의 부정적분 식처럼 써주면 된다. 여기서 로그함수 ln이 나오는 이유는 로그함수를 미분한 값을 통해 쉽게 알 수 있다.

즉, ln|x|의 도함수가 바로 1/x이기 때문에 n=-1일 때 부정적분은 위의 식과 같이 쓸 수 있다.

​

부정적분의 성질

Properties of the Indefinite Integral

 

부정적분의 기본적인 성질은 크게 4가지이다.

​

상수의 적분

■

​

상수배의 부정적분

■

​

단, 상수배의 부정적분에서 c는 실수이다.

​

합의 부정적분

■

​

차의 부정적분

■

​

적분은 기본적으로 덧셈과 뺄셈에 대해 선형성을 갖는다. 예를 들어 F+G의 함수를 미분했을 때,

이면,

이고 이를 부정적분에 넣으면,

가 된다.

​

 

예제 1

 

아래 식을 계산하시오.

SOLUTION.

차의 부정적분과 거듭제곱 함수의 부정적분을 사용한다.

 

---

 

합성함수의 부정적분

Indefinite Integral of a Composite Function

 

예를 들어,

와 같은 부정적분식에서 피적분함수는 합성함수에 속한다. 이러한 합성함수는 과학에서 매우 자주 나오는 n차 합성함수로 아래 정형화된 공식이 존재한다.

​

(ax+b)^n의 부정적분

■

​

(ax+b)^n의 부정적분 식에서 a로 나누는 이유는, 합성함수 ax+b를 미분하였을 때,

로 계산되는데, 적분에서는 이 미분계수 a를 보정하기 위해 a로 나눈다.

 

예제 2

 

아래 식을 계산하시오.

 

SOLUTION.

 

---

 

예제 3

 

아래 식을 계산하시오.

SOLUTION.

​

위의 식을 미분으로 검산할 수도 있다.

상수는 앞으로 두고 chain rule을 사용하면,

로 계산되고 정리하면,

원래 함수가 나온다.

 

---

합성함수의 부정적분은 이후 배우게 될 치환적분의 가장 기본적인 형태이다.