【미분적분학 노트】 25. 지수함수 부정적분 ※예제포함

지수함수는 미적분학의 연산 측면에서 가장 효율적인 함수일 것이다. 왜냐하면 지수함수의 미적분의 결과는 항상 자기 자신의 값을 재도출하기 때문이다.

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【12. 미분법: 지수함수의 도함수】에서 우리는 지수함수를 미분하였을 때 결과들을 배웠다.

 

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【미분적분학 노트】 12. 미분법: 지수함수의 도함수 (feat. 자연로그 밑 e의 역사)

 

우선, 임의의 값 a를 밑으로 하는 지수함수의 도함수는,

이다.

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자연지수함수의 도함수는 더욱 더 쉽다.

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그리고 만약 합성함수의 형태로 지수함수가 주어졌다면, 먼저 y=a^f(x)일 때 도함수는,

이고, y=e^f(x)일 때 도함수는,

이다.

• 합성함수로 밑 a, e, f(x)는 모두 미분가능하기 때문에 연쇄법칙을 사용하여 풀이해주었다.

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지수함수의 부정적분

Integrals of Exponential Functions

 

어떤 함수든 부정적분 식은 함수 F의 도함수(dF/dx)가 f(x)일 때 f(x)를 피적분함수로 삼아 원시함수 F(x)를 계산하기 위한 것이고, 지수함수의 부정적분 식 또한 같은 식으로 유도한다.

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예를 들어 자연지수함수의 도함수,

식에서 f(x)는 우변의 e^x일 것이고, 이를 피적분함수로 삼아 원시함수를 다음과 같이 구할 수 있다.

위의 부정적분이 성립하는 것은 적분 결과를 다시 미분하였을 때, 피적분함수인 e^x가 나오면 된다.

또한 임의의 값 a를 밑으로 하는 a^x의 부정적분 식은 아래와 같이 유도된다.

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[1] 임의의 값 a를 밑으로 하는 지수함수의 도함수는 (a^x)(lna)인데, a^x의 부정적분 식을 세우기 위해서는 양변을 lna로 나누어 주어야 한다.

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[2] [과정 1]의 식은 아래와 같이 쓸 수도 있다.

[3] 어떤 함수의 도함수 식으로부터 원하는 피적분함수 f(x)를 유도하였고, 이에 따라 원시함수 F(x)를 구할 수 있는 부정적분 식도 아래와 같이 쓸 수 있다.

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지수함수의 부정적분

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확장형

지수함수의 부정적분에서 공식이 다양해지는 대표적인 경우는 지수 자릿값이 바뀌는 것이다.

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예를 들어 간단한 자연지수함수는 상수 a가 x에 곱해지는 경우이고, 이것의 부정적분은 다음과 같다.

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한편, 밑이 a이고 지수 x였던 지수함수의 지수가 mx+n으로(단, m은 0이 아니다.) 주어지는 것 또한 지수함수 부정적분의 대표적인 확장형 문제이다.

지수함수의 부정적분(확장형)

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어떤 함수의 부정적분(공식)든 특정한 도함수 공식으로부터 피적분함수를 원하는 꼴로 유도함으로써 식을 세울 수 있다.

 

예제 1

 

아래 문제를 계산하시오.

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[1]

[2]

[3]

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