【미분적분학 노트】 24. 적용: 운동량과 충격량

운동량과 충격량은 고전역학(물리학) 분야에서 질량을 가진 두 개 이상의 물체 간 상호작용을 기술하는데 매우 중요하게 다루어지는 개념들로, 대학물리학 수준에서는 이 둘을 적분 식을 활용해 표현할 수 있다.

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개념: 운동량과 충격량

Momentum and Impulse

 

운동량

고전물리학에서 어떤 질량을 가진 입자가 움직일 경우, 이 입자는 운동량(運動量, momentum)을 갖는 상태이고, 이는 아래와 같이 흔히 표현한다.

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입자의 선운동량

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<의미>

• p: 운동량
• m: 움직이는 입자의 질량
• v: 움직이는 입자의 속도

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물리학에서 속도는 벡터량이고, 만약 2차원 상에서 x축으로는 3m, y축으로는 4m만큼 갔다면,

이고, 그 물체의 질량이 2kg이라면, 운동량 p는 mv식으로,

로 계산된다.

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운동량 p식은 본래 뉴턴의 운동 제2법칙에서 어떤 물체에 작용한 힘을 수학적으로,

와 같이 표현한 것에서 유래한다. 즉, 물체에 작용한 힘은 어떤 시간(간격)에 대한 운동량의 변화량으로 나타난다.

• 물체에 작용한 힘에 의해 그 물체의 운동량이 변한다.
• 그 물체의 운동량을 변화시키기 위해서는 특정하게 그 물체에 힘이 작용해야 한다.

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물체의 질량 m이 변하는 경우, 아래와 같이 식을 더욱 풀어쓸 수도 있다.

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충격량

부정적분을 공부하면서 우리는 원시함수(antiderivative)를 아래와 같이 정의했다.

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"만약 어떤 함수 F의 도함수가 f일 때, 우리는 F를 f에 대한 원시함수라 한다."

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즉,

를 만족하면 원시함수는 F이다.

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그리고 이 F를 실질적으로 구하기 위해서 우리는,

이란 식을 세운다.

• 피적분함수는 f(x)이다.

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운동량 식에서도 물체에 주어진 힘(시간함수)은 결국 시간에 대한 운동량의 미분식인데, 이를 원시함수를 찾는 논리로 다시 풀어쓰면,

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이고, 운동량 p를 구하기 위해서 우리는,

라는 식을 세움으로써 원시함수인 운동량을 구할 수 있다.

• 피적분함수는 F(t)이다.

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그런데, 부정적분 식에서 피적분함수 F는 시간에 대한 함수이고, dt를 적분한 값은 질량끼리 서로 상호작용한 전체 시간간격과도 같다.

만약 처음 시간을 t_1로 나중 시간을 t_2로 잡았을 때, 시간 간격 ∫dt 동안 받은 힘을 모두 적분한 값을 충격량(衝擊量, impulse)이라 한다.

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충격량

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예를 들어 100N의 힘을 2초 동안 가하면 충격량은,

로 쉽게 계산된다.

• 충격이란 (1)힘과 (2)시간 변수가 고려되며, 산술적으로 충격량은 이 둘을 곱한 값이다. ⇒ 충격의 정의

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그림 1. 운석 충돌로 인한 운동량의 변화량(충격량) [출처: 『University Physics Volume 1 (Openstax)』, 2017, p.405]

 

[그림 1]과 같이 지구에 운석이 충돌했을 때, 힘은 일정한 시간 동안 가해지나 그 크기는 시간에 따라 다를 것이다. 이러한 힘은 시간 별로 나타낼 수 있는데, 이들을 총합(적분)한 값이 바로 충격량이다.

• 충격량은 힘-시간 그래프의 넓이로 표현한다.
• 그래프 넓이에서 가장 작은 미소 면적은 F=dp/dt이다.

 

충격량-운동량 정리: 운동량과 충격량의 연결고리

The Impulse-Momentum Theorem

 

뉴턴의 운동 제2법칙 식 양변에 시간에 대해 적분을 하면, 운동량과 충격량 사이의 연결고리를 파악할 수 있다.

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[1] 뉴턴의 운동 제2법칙 식에 시간에 대해 적분한다.

[2] 힘이 일정하고 시간 간격이 Δt=∫dt로 정해질 경우, 미소 운동량 dp 또한 Δp=∫dp로 고쳐 쓸 수 있다.

<의미>

• t_i: 처음 시간
• t_f: 나중 시간
• p_i: 처음 시간에서의 운동량
• p_f: 나중 시간에서의 운동량

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[3] 여기서 ∫Fdt는 충격량 내용과 정확히 일치한다. 즉, 충격량이란 운동량의 변화량이다. 나중 운동량에서 처음 운동량을 빼면 충격량을 구할 수 있고, 두 물리량의 단위는 서로 같다.

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충격량-운동량 정리

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입자의 운동량 변화는 입자에 작용하는 알짜힘의 충격량과 같다. [그림 2]와 같이 충격을 주었을 때, 같은 크기의 힘을 2배의 시간만큼 주면 운동량의 변화량도 2배가 된다.

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그림 2. 운동량의 크기는 같은 힘이 주어지더라도 그 힘이 주어진 시간 간격에 따라 비례적으로 증가한다. [출처: 『University Physics Volume 1 (Openstax)』, 2017, p.400]

 

수학적으로 충격량은 (1)충격의 정의와 (2)운동량의 변화량이라는 두 가지 별개의 내용으로 표현되며,

로 최종 정리할 수 있다.