【미분적분학 노트】 29. 적분법: 부분적분 ※예제포함

미분에서의 곱법칙과 부분적분법

Product Rule and Integration by Parts

 

부분적분법(integration by parts)은 두 함수 u(x)와 v(x)가 미분가능할 때, 이들을 적분하는 기법이다.

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미분법에서는 합성함수를 미분하기 위해 곱법칙을 배웠는데 우선 곱법칙 공식은,

이었고, 이 식의 양변을 적분하면,

으로 둘 수 있다. 이 식의 연산을 더 진행하면,

와 같은 식이 나오는 데, 이것이 바로 부분적분이다.

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부분적분

만약 u(x), v(x)가 미분가능할 때, 이들은 아래와 같이 적분할 수 있다.

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부분적분법의 절차는 다음과 같다.

 

[1] 피적분함수가 합성함수일 때, u와 dv를 정한다. 예를 들어, ∫2xsin(x)dx에서 피적분함수 2xsin(x)는 합성함수이며, u와 dv는 다음과 같다.

[2] du와 v를 구한다. 위의 예시에서 du는 du/dx=1이므로 du=dx, v는 ∫dv=∫(sinxdx)=-cosx이다.

 

[3] 부정적분 식의 우변에 u, v, ∫vdu를 모두 대입한다.

예시는 ∫2xsin(x)dx=2∫xsin(x)dx이므로,

로 최종 계산된다.

 

예제 1

 

다음을 적분하시오.

SOLUTION.

피적분함수인 xe^x는 합성함수로 먼저 u=x, dv=e^xdx로 둘 수 있다.

다음, du와 v를 각각 구하면,

이다.

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이제 이것을 부분적분 식에 대입한다.

적분 값의 우변에 있는 ∫e^xdx를 한 번 더 계산하면,

 

이고, e^x로 우변항을 더 정리하면,

이다.

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예제 2

다음을 적분하시오.

SOLUTION.

피적분함수인 xsin(x)는 합성함수로, 첫 번째 과정인 u와 dv를 구한다.

다음, du와 v를 구한다.

이를 부분적분 공식에 대입하면,

인데, 우변의 ∫cosxdx=sinx이므로 식을 정리하면 우변은,

이고, 전체 적분 결과는,

로 쓸 수 있다.

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