【미분적분학 노트】 31. 적용: 넓이 구하기 <PART 1> (feat. 절댓값, 우함수, 기함수)

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이전 챕터까지 우리는 매우 다양한 형태의 적분과 적분법에 대해 배웠다. 지금부터는 이러한 내용들을 활용해 다양한 기하학적 구조 및 물리량(넓이, 부피 등), 일(work) 등 여러 가지 적분의 응용분야를 탐구한다.

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두 곡선 사이의 넓이

Area of a Region between Two Curves

 

곡선 아래 넓이

그림 1

 

 

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속할 때, 곡선 y=f(x)의 두 개의 구간 지점(x=a, x=b)으로 구획지어진 넓이 S는 다음과 같이 구한다.

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곡선과 x축 사이의 넓이

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만약 절댓값 f(x)가 아닌 그냥 f(x)를 사용했을 때 알짜 넓이는 아래와 같이 계산된다.

• x축 위쪽 S_1 = 양수 넓이
• x축 아래쪽 S_2 = 음수 넓이

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그러므로 단순히,

 

를 계산하면 (양수 넓이)-(음수 넓이)인 알짜 넓이가 계산된다.

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그러나 넓이의 '전체 값'을 구하기 위해서는 음수 넓이 또한 항상 양수로 취급해야 하기 때문에, 절댓값 기호 ||를 취해주는 것이 옳다.

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절댓값의 역할

함수의 넓이를 구하는 데, 절댓값을 함수에 취하면 모든 높이를 양수로 바꾸어주는 효과를 낳는다.

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예를 들어,

에 절댓값을 취하면,

로 값이 바뀐다.

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[그림 1]과 같이 한 개의 곡선 f(x)에 x축 위, 아래 면적이 모두 포함될 때 넓이 S는,

인데, 절댓값은 함수의 모든 높이를 양수로 바꾸어주므로,

로 고쳐쓸 수 있고, 이를 합치면,

이다.

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정적분의 성질 중 구간의 분할 공식을 활용했다. (a=0<c=5<b=8)

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두 곡선 사이의 넓이

그림 2

 

[그림 2]와 같이 연속함수 f(x), g(x)가 구간 [a, b]에서 f(x)≥g(x)를 만족한다고 하자. 이때 두 그래프 사이의 영역 넓이(region between two curves)를 구하기 위해 리만합을 이용한다.

그림 3. 두 그래프 사이의 영역 넓이를 구하기 위해 n개의 구간에 대해 직사각형을 만든다. [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.123)

 

폭은 Δx로 잡고 높이는,

인 n개의 직사각형의 총 넓이는 대략,

일 것인데, 여기에 n→∞로 극한을 취하면,

이고, 이것을 적분 식으로 바꾸면,

 

이다.

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두 곡선 사이의 넓이

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만약, f(x)=x+4이고, g(x)=3-(x/2)인 곡선 사이의 넓이 중 구간 [1, 4]에 포함되는 면적[그림 4]만 구하면,

그림 4

 

두 곡선 사이의 넓이 식을 이용해,

로 쉽게 그 값을 구할 수 있다.

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우함수(짝함수)와 기함수(홀함수)의 넓이

우함수와 기함수는 각각 (1)y축 대칭, (2)원점 대칭 꼴을 가지며 형태는 다음과 같다.

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우함수(짝함수) | Even Function

그림 5

 

우함수는 [그림 5]와 같이 y축에 대칭하는 그래프(f(-x)=f(x))로 만약 적분 구간이 [-a, a]이면, 적분 구간은 '좌우대칭'으로

• 면적은 크기는 같고,
• 부호는 반대로 주어짐을

쉽게 알 수 있다.

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우함수의 대표적인 예로 짝수차 멱함수, 절댓값 그래프, 코사인 함수, 쌍곡선 코사인, 가우스 곡선 등을 들 수 있다.

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우함수 f(x)가 주어졌을 때, 적분구간의 크기가 서로 같다면,

식으로 넓이를 구한다.

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기함수(홀함수) | Odd Function

그림 6

 

기함수(홀함수, odd function)는 [그림 6]과 같이 원점에 대해 대칭하며, 모든 x에 대해 f(-x)=-f(x)를 만족하는 함수를 뜻한다. 대표적으로 홀수차 멱함수[그림 7], 사인함수, 쌍곡선 사인, 오차함수 등을 들 수 있다.

그림 7

 

기함수 f(x)가 주어졌을 때, 적분구간의 크기가 서로 같다면,

식으로 넓이를 구한다.

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[그림 7]의 경우,

이라 할 수 있다.