【미분적분학 노트】 28. 적분법: 치환적분

 

연쇄법칙과 치환적분

Chain Rule and Integration by Substitution

 

연쇄법칙 복습

미분학에서 우리는 합성함수를 미분하는 방법으로 연쇄법칙을 배웠다. 연쇄법칙을 간단히 다시 정리하면 아래와 같다.

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예를 들어,

와 같은 식을 미분한다고 하자. 여기서 괄호안은 안쪽 함수(inner function)이고, 5의 제곱(^5)은 바깥 함수(outer function)이다. 여기서 안쪽 함수를 u로 '치환'할 수 있고, 그러면 함수는 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

f(u)는 결국 f(g(x))의 꼴이며, 이것을 x에 대해 미분하는 것이 바로 chain rule이다.

위의 식을 미분연산자로 표현하면,

 

라고도 쓸 수도 있는데, 풀이는 (1)바깥 함수 미분, (2)안쪽 함수 미분, (3)두 값 곱한 뒤 안쪽함수 복원 순이다.

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[1] dy/du 구하기

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[2] du/dx 구하기

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[3] 두 값 곱한 뒤 안쪽함수 복원

u값인 안쪽 함수는 원래 (x^2+1)이므로 이 값으로 돌려놓으면 최종적으로 chain rule의 결과는,

이다.

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치환적분

우리는 부정적분을 공부할 때 (x^3-3x), sin(x), e^ax 등 다양한 함수를 적분하는 방법을 학습했다. 그런데 이런 함수들이 합쳐진 합성함수를 적분하려면 어떻게 해야할까? 만약,

와 같은 함수는 어떻게 적분할 수 있을까?

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치환적분 | Integration by Substitution

만약 u=g(x)가 구간 I를 치역으로 갖는 미분가능한 함수이고, f가 I위에서 연속한다면,

이다.

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치환적분의 특징은 아래와 같이 정리할 수 있다.

• 치환적분은 미분법에서의 연쇄법칙과 정확히 호환된다. ⇒ 치환적분의 치환 과정은 치환법칙(substitution rule, SR)이라고도 하며, 이는 연쇄법칙을 이용해 증명된다.
• 치환적분은 연쇄법칙에서의 inner function 설정 및 치환 요령을 그대로 따른다.
• 치환적분은 상대적으로 복잡하게 보이는 피적분함수를 좀 더 간단하게 만드는 것에 의의가 있다. ⇒ 올바른 치환을 찾는 것이 매우 중요하다.

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chain rule에서 첫 번째 과정은 치환할 함수를 찾는 것이었다. 치환적분도 마찬가지로 치환할 inner function과 outer function을 구분하는 것이 순서이다.

에서 inner function u는 3x+2로 잡을 수 있다.

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이를 dx에 대해 미분하면,

 

로 바꿀 수 있는데 여기서 du가 바로 치환적분 식에서 ∫f(u)du의 du로 쓰인다.

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또한 위의 식을 dx에 대해 바꿔쓰면,

이기도 한데, 이는 치환적분 식에서 ∫f(g(x))g'(x)dx의 dx와 같다.

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먼저 inner function을 모두 u로 바꾼 뒤 du 값을 대입해 정리하면,

이 되는데, 이제 ∫f(u)du를 해주면,

로 계산된다.

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여기서 u를 원래 변수로 복원하면,

으로 최종 작성할 수 있다.

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위 치환적분을 요약하면,

1. 피적분함수에서 올바른 치환 함수 찾기
2. du/dx한 값을 g'(x)라 했을 때, du=g'(x)dx와 dx=du/g'(x)로 꼴 정리하기
3. u를 포함한 내부함수의 적분하고, 구한 최종 값의 u를 원래 변수로 복원(환원)

이라 할 수 있다.

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치환 대상 찾기

합성함수 내 좋은 치환을 찾는 요령으로 크게 다섯 가지를 아래와 같이 요약했다.

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괄호안

루트안

분모안

지수안

로그안