【미분적분학 노트】 33. 매개변수

 

매개변수의 필요성

Why Parameters Are Needed

 

지금까지 우리가 배워온 함수의 꼴은 일반적으로 y=f(x)의 형태를 취했다. 하지만 만약 반지름이 r인 원의 방정식,

도 y=f(x)꼴로 적을 수 있을까?

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그림 1. 원의 방정식을 y에 대해 각각 푼 결과 [출처: olvereducation]

 

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원의 방정식을 y에 대해 풀면 다음과 같이 두 식을 갖는데,

한 개의 식은 [그림 1]과 같이 반원 밖에 표현할 수 없다. 즉, y=f(x)의 꼴로 원 전체를 표현할 수 없다.

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한편, x=f(y)의 형태로 원을 표현하면, [그림 2]와 같이 y축 대칭인 반원이 그려진다.

• y=f(x)의 형태에서 반원은 x축에 대해 대칭한다.

 

그림 2. 원의 방정식을 x에 대해 각각 푼 결과 [출처: olvereducation]

 

세상에는 단지 하나의 방정식만으로 기술될 수 없는 수많은 곡선들이 있다. 따라서 이러한 문제 중 일부를 처리하기 위해 매개변수(parameter)를 도입한다.

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매개변수

Parameters

 

일상 용어에서 매개변수는 다음과 같이 비유된다. 예를 들어 t라 불리는 국가가 두 국가 x, y와 서로 교류하면서, x에 대해서는 흑자 y에 대해서는 적자를 볼 때, x와 y는 't'라는 매개를 통해 다음과 같이 국가가 재정의된다.

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x=적자(t) ⇒ 국가 x에 대해 국가 t는 흑자를 보고 있으므로, x 국가를 설명할 때는 반대(적자)가 된다.

y=흑자(t) ⇒ 국가 y에 대해 국가 t는 적자를 보고 있으므로, y 국가를 설명할 때는 반대(흑자)가 된다.

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만약 x, y가 있을 때 t가 매개(변수)라면,

라 쓸 수 있고, 이 관계는

 

로 x, y 모두 t에 의해 결정됨을 명시한다.

• y=f(x)는 x가 원인 → y는 결과임을 명시한다.

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만약 x=t^2+t, y=2t-1, -1≤t≤1인 매개변수 방정식 세트에 대해 매개변수 곡선(parametric curve)을 그리면 [그림 3]과 같다.

그림 3 [출처: Paul's Online Notes]

 

[그림 3]은 t의 제한 범위 내에서 (x, y)를 각각 구한 뒤 이들에 대해 평면좌표계에 점을 찍은 결과이다. 점을 연결하였더니 오른쪽으로 열린 포물선이 나왔다.

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매개변수 방향성

매개변수 방정식 세트에는 일반적인 함수에는 없는 특징이 한 가지 있다.

 

매개변수 곡선에는 진행 방향이 존재한다.

 

자연계의 변칙적인 운동은 매 순간에 대해 모두 (x, y, z) 좌표로 표시 가능한데, 각 좌표는 공통적으로 운동 매개인 시간(time)에 따라 변한다. 따라서 매 순간을 이은 매개변수 곡선은 처음과 끝이 있는 진행 방향성이 존재한다.

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예를 들어 공의 운동은 평면 상에서 (x, y) 좌표로 나타낼 수 있으며, 매개변수 t를 활용하면,

로 나타낼 수 있다.

• x, y는 모두 매개변수인 t(시간)이 흐를 때, 그 위치가 변한다.

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다시 원으로 돌아가, 반지름 r=1인 원의 좌표를 매개변수로 표현하면,

이다.

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만약 원의 방정식 x^2+y^2=r^2이라면,

이다.

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[그림 4]는 반지름이 4인 원의 방정식의 각 지점을 매개변수 t로 표현한 것이다.

그림 4. 반지름이 4인 원의 좌표 [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.123]

 

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