【미분적분학 노트】 35. 곡선의 길이

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곡선의 길이

Arc Length

 

이전 챕터에 이어 정적분을 활용하여 곡선의 길이를 구하는 방법을 배운다. 곡선의 길이(arch length)란, 우리가 실제로 그 곡선을 따라 이동한 거리라고 생각할 수 있다. 곡선의 길이가 특정한 지점에서 겹치지 않는다면, y=f(x)의 형태의 매끄러운 함수 곡선(smooth function curve)을 가진다.

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[그림 1]의 푸른색 곡선과 같은 그래프를 y=f(x)의 매끄러운 함수(smooth function)이라 한다.

 

그림 1. 곡선과 분절 [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.150]

 

또한 곡선의 길이는 분절(be segmented)된다.

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곡선의 길이 중 y=f(x) 형태의 곡선 길이를 구할 수 있다면,

• 로켓의 포물선 궤도 이동거리
• 지도에서 도로가 곡선으로 표기될 때 실제 주행거리
• DNA 단일 나선 길이
• 인공위성 궤도 길이

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등으로 개념 확장이 가능하다.

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곡선 y=f(x)의 길이 | Arc Length of the Curve y=f(x)

[그림 1]과 같은 곡선 길이를 계산하기 위해서는 함수 f(x)에 관해 다음과 같은 추가 조건이 필요하다.

• 함수 f(x)는 미분 가능해야한다.
• f(x)의 도함수 f'(x)는 연속이어야 한다.

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위와 같은 함수 조건을 만족하는 f(x)를 매끄러운 함수라 하며, f(x)의 '특정한' 길이를 구하기 위해서는 구간 [a, b]에서도 매끄럽다고 해야 한다.

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곡선 길이 계산을 위해, 먼저 [그림 1]과 같이 구간 [a, b]를,

로 나눈다.

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각각의 인접한 점들을 직선으로 연결하면 곡선을 무수한 선분들로 근사할 수 있는데 이는,

 

을 연결한 것과 같다.

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그림 2. 곡선 경로의 대각 분절(주황색 빗면)의 길이는 피타고라스 정리로 근사할 수 있다. [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.151]

 

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이렇게 연결한 것들의 최소 단위를 분절이라 하고, 이 분절한 값(segment)들의 (1)수평 변화량 Δx와 (2)수직 변화량 Δy를 다음과 같이 구할 수 있다.

• 수평변화량

• 수직변화량

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곡선의 길이를 최소 단위로 분절하였을 때, 우리는 (1)수평변화량과 (2)수직변화량을 위와 같이 알 수 있다. 그리고 이들을 피타고라스 정리로 계산하면, [그림 2]의 빗변인 선 분절(line segment) 또한 계산할 수 있다.

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다음, 곡선을 매우 작은 분절들로 '무한히' 나누어 작은 선분들의 합으로 근사했을 때, 선 분절 Δs는 무한소로 취급하여,

과 같이 식을 바꿀 수 있다.

• ds는 곡선에서 매우 짧은 선분의 길이이다.

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위의 식의 우변 값에서 루트 안을 dx^2으로 묶어보자.

• dx는 수평변화량의 무한소이다.

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다음, 루트의 성질 √ab=√ a√b를 이용하면,

으로 계산되는데, a에서 b까지 적분할 때 dx는 양수이므로,

를 얻는다.

• 무한소 dx는 dx>0이다.
• 절댓값 dx 변환

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위와 같이 계산한 ds 값을 곡선에서의 미소 호길이라 한다.

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미소 호길이 | Element of Arc Length

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곡선 전체 길이는 미소 호길이의 적분 값이다.

적분식 ds에 미소 호길이를 대입한다.

 

위는 부정적분 형태로 구간 [a, b]를 적분의 upper bound, lower bound에 마지막으로 대입하면,

이 최종 곡선의 길이 식이다.

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곡선의 길이

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어떤 곡선이 함수 y=f(x)로 주어지고, a≤x≤b일 때, 곡선의 길이 L은 위의 식으로 계산하며, dy/dx는 또한 f'(x)이기도 하므로,

와도 같다.

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예제 1

 

에서의 곡선의 길이를 구하시오.

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SOLUTION.

위의 y=f(x)의 그래프(1≤x≤4)는 아래와 같이 그릴 수 있다.

 

y=f(x)는 매끄러운 함수 곡선으로 해당 구간에서의 곡선 길이는,

에 대입하여 쉽게 구할 수 있다.

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먼저, y=f(x)에서 f'(x)값을 알아야 하므로,

로 계산해주고 이것을 L식에 대입하면,

로 최종 곡선의 길이는 14/3으로 계산된다.

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[예제 1]의 그림은 분절을 통해서도 곡선 길이의 어림값을 구할 수 있다.

 

그림 3

 

[그림 3]과 같이 x=1일 때, y값이 0인 것을 시작으로 대략 4개의 점을 선정·계산할 수 있는데, x=1, 2, 3, 4일 때 y는 각각 아래와 같이 계산된다.

만약 처음(x=1)과 끝점(x=4)을 단순히 선분(빗변)으로 연결하여 피타고라스 정리를 적용한다면,

라는 값을 얻는데, 이는 L=14/3≒4.667에 대해 어림값임을 쉽게 알 수 있다.