【미분적분학 노트】 36. 적용: 넓이 구하기 <PART 2> (feat. 곡선과 y축 사이의 넓이) ※예제포함

 

【31. 적용: 넓이 구하기 <PART 1>】에서 우리는 곡선과 x축 사이의 넓이를 기준으로 아래와 같은 내용들을 학습했다.

• 곡선과 x축 사이의 넓이
• 두 곡선 사이의 넓이
• 우함수와 기함수의 넓이

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【미분적분학 노트】 31. 적용: 넓이 구하기 <PART 1> (feat. 절댓값, 우함수, 기함수)

 

 

 

그림 1

 

그러면 [그림 1]과 같이 곡선과 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 어떻게 구할 것인가?

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y축에 대해 적분하는 경우의 넓이 구하기

Calculating Region Defined with Respect to y-axis

 

곡선과 x축 사이의 넓이는 일반적으로 세로 띠를 이용하여,

 

식으로 풀이했다.

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그러나, [그림 1]과 같이 곡선이 x=g(y)의 형태로 주어진다면 가로 띠를 이용하는 것이 편하다.

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그림 2. Horizontal Slicing [출처: UTCalculus]

 

 

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가로 띠를 만드는 과정을 수평분할(horizontal slicing)이라 하며, [그림 2]는 두 함수 f(y), g(y) 사이의 면적이 수평분할된 결과를 나타낸다.

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이와 같이 함수 x=g(y)가 닫힌 구간 [c, d]에서 연속할 때, 넓이 적분 식은 아래와 같다.

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곡선과 y축 사이의 넓이

■

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위의 넓이 공식이 적용되는 형태는 아래 세 가지 특징을 갖는다.

1. 곡선 x=g(y)
2. y축의 모든 지점은 x=0이다.
3. [c, d]는 y=c에서 y=d까지 구간을 뜻한다.

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만약,

그림 3

 

y=lnx와 같은 그래프가 있을 때, 구간 [1, 3]에 대한 곡선과 y축 사이의 넓이는 다음과 같이 구한다.

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[1] y=f(x)을 그대로 넓이 식에 대입하면 [그림 3]의 아래 부분 면적이 나온다. 따라서 x=f(y)식으로 y=lnx 식을 변환한다.

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y=lnx ⇔ x=e^y

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[2] x=f(y) 식과 구간 [1, 3]을 곡선과 y축 사이의 넓이 식에 대입한다.

 

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예제 1

 

곡선 y=x^2에 구간 [y=1, y=8]인 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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SOLUTION.

 

 

그림 4

 

y=x^3 그래프에서 [y=1, y=8] 구간에 y축으로 둘러싸인 부분을 넓이는 [그림 4]와 같이 나타나고, 아래와 같은 순서로 풀이한다.

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[1] y=f(x)의 꼴의 곡선 함수가 주어졌다면, x=f(y)로 바꾼다. ⇒ x에 대한 y식으로 고치기

[2] 다음 곡선과 y축 사이의 넓이 공식에 대입하는데, y축을 기준으로 (1)오른쪽은 양의 영역, (2)왼쪽은 음의 영역이라 가정하고 음의 영역이 있는 경우에는 식을 분리한다.

[예제 1]은 음의 영역이 존재하지 않으므로, 3√y를 적분 식에 그대로 대입해도 상관없다.

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예제 2

 

곡선 x=siny에서 구간 [y=7π/6, y=π/3]에 y축으로 둘러싸인 넓이를 계산하시오.

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SOLUTION.

그림 4

 

 

문제에 주어진 구간 영역은 [그림 4]와 같이 나타나며, 여기서는 y축을 기준으로 두 영역(오른쪽 양의 영역, 왼쪽 음의 영역)으로 나뉜다.

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식 ∫|g(y)|dy에서 절댓값 부호는 어떠한 영역이라도 그 값을 양(+)의 것으로 만들어야 함을 함축한다. 따라서 음(-)의 영역인 시작되는 π에서 7π/6까지 영역에 임의로 (-)를 취함으로써, 그 값에 양의 부호를 최종적으로 갖도록 한다.

먼저, 우변의 첫 번째 적분을 푼다.

다음, 우변의 두 번째 적분을 푼다.

두 번째 적분 결과는 예상한 것과 같이 음(-)의 영역으로 계산된다. 따라서 우변의 마이너스 부호는 음의 영역이 최종적으로 양의 부호를 갖도록 상쇄해주는 역할로 최종적으로 다음과 같이 계산한다.

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