【미분적분학 노트】 37. 삼각함수의 정적분 - 그래프 활용 ※예제포함

 

복습: 삼각함수 부정적분

Review: Indefinite Integrals of Trigonometric Functions

 

【26. 삼각함수 부정적분(기본형)】에서 우리는 6개의 삼각함수 부정적분 식을 배웠다.

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https://blog.naver.com/moduphysics/224305851260

 

【미분적분학 노트】 26. 삼각함수 부정적분 (기본형) ※예제포함

 

 

• 피적분함수: sin, cos, sec^2, csc^2, sec·tan, csc·cot

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부정적분은 미분의 역연산이므로, 도함수 공식을 통해 쉽게 유추가 가능하다.

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또한 아래와 같은 삼각함수 항등식을 알면, 도함수 식을 모르더라도 값을 유도할 수도 있다.

 

 

새로운 적분 공식을 매번 학습하는 것보다, 삼각함수 항등식으로 피적분함수를 적절히 변형한 후에 기본 적분 공식에 맞추는 능력이 핵심이다.

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예를 들어,

에서 sec^2x은 삼각함수 항등식에 따라 1+tan^2x 또는 1/cos^2x와 같다.

cos^2x는 다시 삼각함수 항등식에 의해 1-sin^2x로 쓸 수 있고, sinx를 u로 치환한 뒤에 치환적분법을 사용하면,

로 계산된다.

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예제 1

 

다음 삼각함수 적분식을 모두 구하시오.

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1.

2.

3.

SOLUTION.

1.

​

2.

​

3.

2x를 u로 치환한 다음에 치환적분법을 적용한다.

 

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그래프에서의 삼각함수 정적분

Definite Integral of Trigonometric Functions in a Graph

 

 

도(degrees)를 라디안(radians)으로 바꾸면, 주요 각들은 다음 라디안(π포함) 값으로 변환된다.

 

원의 반회전을 π, 완전 회전을 2π로 암기하면, 나머지 각들은 쉽게 유추 가능하다.

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그림 1

 

먼저 사인과 코사인 함수의 그래프에서 0-90도에 해당하는 면적은 [그림 1]과 같다.

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그리고 이에 해당하는 각각의 정적분 값은 다음과 같다.

 

위의 두 값은 sinx, cosx의 부정적분 결과에 upper, lower limit을 각각 대입함으로써 쉽게 계산할 수 있다.

또한 sinx 자체는,

이기도 하므로 x=π/4에 대해 대칭하고 넓이 또한 같다.

 

그림 2

 

sin^2과 cos^2의 함수 그래프에서 0-90도에 해당하는 넓이는 [그림 2]와 같고, 해당하는 정적분 값은 다음과 같다.

sin^2x와 cos^2x의 그래프는 x=π/4에 대해 서로 대칭하며, 또한 삼각함수 항등식,

를 만족한다.

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두 그래프의 아래 넓이 합은 가로 π/2에 세로 1인 직사각형의 넓이(π/2)[그림 3]와 같고, 따라서 각각의 넓이는,

이다.

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그림 3

 

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삼각함수 sin, cos 정적분 (0-90도)

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삼각함수 정적분 식의 확장형은 각도 범위를 '확장'하는 형태로 구한다.

위의 결과는 그래프 넓이를 직접 그림으로써 쉽게 알 수 있다.