【미분적분학 노트】 39. 적용: 용수철과 탄성 퍼텐셜에너지 (feat. 비선형 용수철)

 

용수철

Spring

 

그림 1. 용수철 [출처: Wikipedia, "용수철"]

 

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용수철(龍鬚鐵, spring): 진동, 충격 등의 운동 현상을 완화시키는 탄력이 있는 물체(기계 요소)로 일반적으로 [그림 1]과 같이 생겼다. ⇒ 기계적 에너지를 저장할 수 있는 탄성체이다.

• 인류 역사 속 최초의 용수철은 활과 같은 형태로 사용되었다. 코일 형태의 용수철은 약 15세기경에 등장하였다.
• 용수철의 코일 모양은 압축되거나 늘어난 이후 원래의 모양으로 돌아올 수 있도록 한다.
• 탄성한계(elastic limit)을 넘은 힘이 가해지면 이후에는 복원되지 않는다.

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잉글랜드의 물리학자인 로버트 훅(Robert Hooke, 1635-1703)이 용수철 길이와 힘 간의 관계식을 발견(1678)하면서 본격적으로 용수철이 수학적으로 분석되었다.

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Robert Hooke, 1635-1703

 

 

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탄성한계와 훅의 법칙 | Elastic Limit and Hooke's Law

탄성한계란, 어떤 물체가 외력을 받아 변형이 되더라도 힘을 제거하였을 때 원래의 모양과 길이로 완전히 되돌아올 수 있는 최대 한계치로, 훅이 발견한 관계식(훅의 법칙)은 elsatic limit 내에서만 성립한다.

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그림 2. 탄성체에 가한 힘과 탄성체의 늘어난 길이(extension) 간의 상관관계: elastic limit 전까지는 두 변수가 일정한 기울기를 갖는다.

 

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용수철과 같이 탄성이 있는 물체는, 외력(external force)에 의해 길이가 변형되었을 때 자신의 원래 모습으로 돌아오고자 하는 복원력을 갖는데, 이때 변형의 정도와 복원력 크기 사이에 특수한 관계식이 나타난다.

• 탄성(elasticity): 금속 용수철이나 고무줄은 외력으로 인해 그 길이가 늘어나거나 줄어들 수 있는데, 이때 원래의 모습으로 돌아오려는 복원력이 작용하고 이를 물체 탄성이라 한다.
• 용수철은 외력과 늘어난 길이가 서로 비례한 선형 탄성의 전형적인 모델로, [그림 2]와 같이 그래프를 그릴 수 있다.

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그림 3. 용수철 신장과 압축 [출처: Wikipedia, "Hooke's law"]

 

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훅의 법칙 | Hooke's Law

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<의미>

• x: 평형상태 x=0으로부터 용수철이 늘어나거나 줄어든 길이(용수철의 길이가 아님), x>0([그림 3]와 같은 구조에서 용수철은 신장), x<0([그림 3]와 같은 구조에서 용수철은 압축), 변화량을 강조하기 위해 Δx로도 쓴다.
• k: 용수철 힘 상수
• (-)부호: 용수철의 힘 방향은 언제나 평형상태로부터의 변위와 반대임을 의미한다. ⇒ 용수철을 변형시키는 외력에 복원력(restoring force)은 항상 정반대 방향을 갖는다.

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용수철이 압축되거나 늘어나지 않을 때, 용수철은 계속 그 상태를 유지하려고 하는데 이를 (용수철의) 평형이라 한다.

• 용수철의 모양은 압축이나 신장 등의 외부적 변형이 없을 때 가장 온전하다.
• 용수철의 평형에서 용수철은 외력이 없는 한 평형 위치 x=0으로부터 움직이지 않는다.

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훅의 법칙 방향

그림 4. 훅의 법칙 방향

 

 

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[그림 4]에서 용수철을 (b)와 같이 압축시키면, 용수철의 나중길이(압축)보다 처음길이(평형)가 더 길기 때문에 x는 x<0이다. 따라서 훅의 법칙 식에 x<0를 반영하면 결국 용수철 힘 F_s는 F>0의 양수부호이므로 (+)방향(오른쪽)으로 작용함을 알 수 있다.

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같은 논리로 (c)와 같이 용수철을 신장시키면, F_s는 F<0으로 (-)방향(왼쪽)으로 작용한다.

[그림 4]는 x의 부호에 따라 (1)용수철이 늘어났는지(신장) 또는 압축이 되었는지 보여줄 뿐만 아니라, (2)용수철 힘이 어느 방향으로 작용할 지까지 알 수 있다.

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용수철 탄성(용수철 힘 상수) | Elasticity of the Spring (Spring Constant)

용수철의 탄성은 훅의 법칙에서 k(용수철 힘 상수)값으로 나타난다. k값이 클수록 탄성이 크고 스프링은 원래 상태로 복원이 잘 된다.

• k값이 클수록 용수철의 변형이 어렵다.
• k값은 양수 값을 가진다. ⇒ 따라서 아래와 같이 탄성 계수에 절댓값 기호를 취한다.
• 단위: [N/m]

 

 

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용수철 변형 | Deformation of the Spring

그림 5. 용수철의 변형: 과압축과 파열 [출처: 「Conducting OPC retargeting as guided by principles of classical dynamics」, Jingyu Wang et al., 2014]

 

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용수철을 변형시킬 때 필요한 힘은 기본적으로 늘어나거나 줄어든 길이 x에 비례한다.

• 용수철의 복원력은 훅의 법칙을 따르는 동안 그 힘을 -kx만큼 갖는다. 그러나 용수철의 구조가 과압축 또는 파열(rupture)[그림 5]이 되면 복원력을 상실한다.
• 과압축: 용수철의 원래 길이보다 과도하게 압축하는 경우로 영구 변형 또는 기능을 상실한다.
• 파열: 용수철의 원래 길이보다 과도하게 신장되는 경우로 과압축과 같이 영구 변형 또는 기능을 상실한다.
• 용수철의 진동 운동: 용수철에 마찰력이 작용하지 않는다면, (1)최대로 늘어진 용수철은 평형점을 지나 최소로 압축된 지점을 향하게 되고, (2)다시 가장 압축된 용수철은 평형점을 지나 신장될 것이다.

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탄성 퍼텐셜에너지

Elastic Potential Energy

 

용수철을 늘리거나 압축하면 원래 길이로 돌아가려는 복원력이 생기며, 이때 저장되는 에너지를 탄성 퍼텐셜에너지(elastic potential energy)라 한다. 일상에서 볼 수 있는 탄성 퍼텐셜에너지는 예를 들어,

• 활을 당길 때
• 자동차의 서스펜션
• 볼펜 스프링

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등으로 다양하게 나타난다.

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훅의 법칙으로부터 탄성 퍼텐셜에너지 유도

물리학에서 일(work)이란 외력으로 0에서 x까지 이동시키는 데 든 에너지의 변화량으로,

로 계산할 수 있다.

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용수철의 경우, 외력은 복원력의 반대 방향이며, 여기서 F(x)는 용수철을 늘리는 데 들어간 힘으로,

로 쓸 수 있다.

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훅의 법칙을 대입하면,

이고, 용수철 상수 k를 적분 식 밖으로 뺀 뒤,

적분한다.

 

그림 6. 용수철의 탄성 퍼텐셜에너지 [출처: Hyperphysics, "Elastic Potential Energy"]

 

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용수철이 외력에 의해 갖는 potential energy는 [그림 6]의 kx^2/2이며, 이는 elastic limit 범위에서 성립한다.

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그림 7

 

 

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또한 용수철의 potential energy는 [그림 7]과 같이 그래프(힘-변위 그래프)로도 쉽게 도식화 할 수 있다.

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비선형 용수철 | Nonlinear Spring

용수철의 이상적 상태는 훅의 법칙을 만족하며 움직이지만, 실제 스프링이나 탄성체에는 그 이상의 변형(deformation)이 발생할 수 있다. 이때 스프링 상태를 비선형 용수철(nonlinear spring)이라 한다. 용수철의 비선형 모델은 비선형 강성(nonlinear stiffness)이라는 새로운 특성이 반영되는데, 자세한 내용은 아래와 같다.​

• 강성(stiffness): 얼마나 변형이 어려운 가를 나타내는 물리량으로 용수철 상수 k 또한 강성 값에 속한다. k값이 100인 용수철 보다 1000인 용수철의 변형이 훨씬 어렵다.
• 비선형 강성: 마찬가지로 얼마나 변형이 어려운 가를 나타내는 물리량이나 하중(외력)과 변형(변위) 사이의 관계가 더이상 선형으로 나타나지 않는 것[그림 8]이 특징이다.

그림 8. 비선형 강성

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비선형 강성이 작용하는 범위의 변형은 용수철의 복원을 급격히 훼손시킨다. 다만 비선형 강성이 작용하는 범위 내에서 파열과 같은 극단적인 상황이 되지 않는 경우 훅의 법칙이 아래와 같이 확장될 수 있다.

<의미>

• 첫 번째 항: 선형 효과, 훅의 법칙과 같은 꼴
• 두 번째 항: 비선형 효과, 비선형 강성을 나타내는 계수 α가 추가 되었다.

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비선형 강성 범위에서는 그 강성이 더욱 단단해지거나 또는 더욱 부드러워지는 선택적 효과를 갖는다.

1. 강화 용수철(hardening spring): 비선형 항의 α 값이 양수일 경우, 용수철은 변형에 대해 더욱 단단해 진다.
2. 연화 용수철(softening spring): 비선형 항의 α 값이 음수일 경우, 용수철은 변형에 대해 점점 부드러워 진다.

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자동차 서스펜션의 경우, 큰 충격을 받을 수록 스프링이 더욱 단단해지도록 설계되어 있다.

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위의 확장형 훅의 법칙에 다시 적분을 해주면 비선형 용수철 탄성 퍼텐셜에너지를 구할 수 있다.

단, deformation은 기본적으로 복원력의 효과를 매우 떨어뜨리고, 두 번째 항은 무려 네 제곱을 하기 때문에 그 변화량을 무시할 수 있다.

• 예를 들어 어떤 탄성체를 20cm를 늘렸을 때 비선형 용수철 상태가 된다면 위의 식을 적용할 수 있고, 특히 두 번째 항의 x에는 0.2[m]를 네 제곱한 0.0016을 대입한다.
• 비선형 강선 α의 단위는 [N/m^3]이다.