【미분적분학 노트】 40. 적분법: 정적분 치환적분 ※예제포함

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복습: 치환적분

Review: Integration by Substitution (Substitution Integration)

 

【28. 적분법: 치환적분】에서 우리는 치환적분을 아래와 같이 배웠다.

 

​https://blog.naver.com/moduphysics/224311412202

 

 

만약 u=g(x)가 구간 I를 치역으로 갖는 미분가능한 함수이고, f가 I위에서 또한 연속한다면, 아래 식을 만족한다.

【미분적분학 노트】 28. 적분법: 치환적분

 

 

 

• 치환적분은 미분법에서의 연쇄법칙 내용과 정확히 호관된다. 즉, 치환법칙은 연쇄법칙의 역과정으로서 증명된다.
• 치환적분은 상대적으로 복잡하게 보이는 피적분함수를 간단하게 만드는 데 가장 큰 의의가 있다. 올바르게 치환하는 것이 풀이의 핵심이다.

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치환적분 풀이

피적분함수가 합성함수일 때, 치환적분의 풀이 순서는 다음과 같다.

1. 올바른 치환 함수(대상) 찾기
2. du/dx한 값을 g'(x)라 했을 때, du=g'(x)dx와 dx=du/g'(x) 찾기
3. u를 포함한 내부함수의 적분을 구하고 구한 최종 값의 u를 원래 변수로 복원하기

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치환 대상

치환적분은 치환을 찾는 요령이 핵심이고, 크게 다섯 가지를 치환한다.

1. 괄호 내
2. 루트(제곱근) 안
3. 분모
4. 지수함수의 지수값
5. 로그함수

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예를 들어, 다음 적분을 푼다고 하자.

[1] 치환적분의 첫 번째 과정은 올바른 치환 대상을 찾는 것으로 괄호 내의 함수 3x+2를 u로 둔다.

[2] 다음 du/dx를 구한 뒤, du와 dx를 아래와 같이 정리한다.

 

[3] 위 예제 적분 식을 u에 대해 바꾸면,

인데, 이것을 적분하면,

으로 계산된다.

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[4] u에 대해 적분 식을 계속 계산하면,

으로 최종 계산되고,

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[5] 마지막으로 u를 원래 변수였던 3x+2로 복원한다.

 

정적분의 치환적분법

Substitution Integration for Definite Integrals

 

앞서 배운 내용은 '부정적분'의 치환적분법이다. 즉,

와 같이 적분 구간이 정해져 있다면 이는 정적분의 치환적분법으로 풀어줘야 한다.

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예제 풀이를 통해 정적분의 치환적분법을 알아보자.

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예제 1

 

위 문제를 치환적분을 이용해 그 값을 구하시오.

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SOLUTION.

2x+1을 t로 치환하고,

양변을 x에 대해 미분하면,

 

를 구할 수 있다.

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다음 적분 구간은 원래 x=0에서 x=1이었으나, 이제는 t로 그 값이 치환되어,

이 된다. 변환된 구간의 1과 3은 아래와 같이 구해졌다.

• 2(0)+1=1
• 2(1)+1=3

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적분 구간이 t에 대해 변경되어, 아래와 같이 식을 풀어쓸 수 있고,

간단한 적분 ∫t^3dt를 마저 구하면,

으로 정답은 10이다.

 

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예제 2

 

다음 적분을 계산하시오.

SOLUTION.

마찬가지로 위의 피적분 함수는 합성함수로 치환을 통해 계산해준다. 위 지수함수의 치환대상으로 지수를 t로 치환하면,

이고 x에 대해 미분하면,

을 구할 수 있다.

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다음 적분구간인 0과 1을 t에 대해 풀어주면 아래와 같다.

치환한 내용과 바뀐 적분 구간을 적으면,

이고, 오른쪽 항의 적분을 계산해주면,

으로 답은 (e-1/e)/2이다.

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닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대해 미분가능한 함수 x=g(t)의 도함수 g'(t)가 a=g(α), b=g(β)일 때, α와 β를 포함한 구간에서 연속이라면,

를 만족한다.

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정적분 치환적분 풀이

피적분함수가 합성함수이고, 정적분 구간을 가질 때, 정적분 치환적분은 아래와 같은 순서로 풀이한다.

1. 치환: 올바른 치환 함수(대상) 찾기
2. 치환 미분: dt/dx한 값을 g'(x)라 했을 때, dt=g'(x)dx와 dx=dt/g'(x) 찾기
3. 적분 구간 변경: 피적분함수의 초기 구간 a, b를 치환 함수 t에 대입하여, α, β로 바꾼다. ⇒ 정적분에서는 반드시 적분구간도 함께 변경한다.
4. 치환 적분: t를 포함한 내부함수의 적분을 구한다. ⇒ 최종 값의 u를 원래 변수로 복원하기

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정적분 치환적분

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여기서 a, b는,

이다.