【미분적분학 노트】 42. 적분의 응용: 누적 변화량 (feat. 누적 강수량)

 

미적분학에서 적분은 그래프 상에서 면적으로 주로 나타난다. 하지만 적분의 본질적인 의미는 '누적된 변화율로 인한 새로운 양(quantity)을 구하는 것'이다. 그리고 이러한 새로운 양은 크게 6가지로 정리할 수 있다.

1. 면적
2. 곡선 길이
3. 누적 변화량(cumulative change)
4. 평균값(average value)
5. 표면적(surface area)
6. 부피(volume)

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모든 응용의 출발점은 미적분학의 기본정리이다.

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누적 변화량이란 무엇인가

What is the Cumulative Change?

 

누적 변화 또는 누적 변화량이란 특정 기간 동안 발생한 모든 변화의 총합으로, 각 시점의 변화량을 이전까지의 합계에 계속 더하는 방식으로 계산하며, 장기적 추세(long-term trends) 및 연속 사건의 잠재적 효과(net effect of compounding events)를 파악하는 데 사용된다.

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예를 들어, 어떠한 양 N(t)가 시간 t에 따라 변한다고 하자. 그리고 그 변화율을 r(t)라고 했을 때 r(t)는,

라 쓸 수 있다.

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미적분학의 기본정리에 근거해 적분으로 복원하면,

으로 N(t)를 구할 수 있으며, 적분상수 C는 초기조건(initial condition)에 의해 결정된다.

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적분상수 C의 초기조건이란 대개 N(t)에서 t=0일 때의 양으로 N(0) 또는 N_0로 쓴다.

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누적 변화량(누적 변화)

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위 식에서 t는 누적 변화가 발생한 최종 시점으로 뜻이 한정되므로, 변화율이 발생하는 동안의 시간은 더미 변수(dummy variable) s로 바꾸었다.

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누적 변화 식의 의미는 다음과 같다.

• 최종값 N(t)는 초기값 N_0에 변화량(적분식)을 더한 것과 같다. ⇒ 따라서 최종값은 초기값에 변화량을 '누적'한 누적 변화(량)이다.
• 누적 변화 식에서,

 

는 시간 0부터 현재 시각 t까지 매 순간 s에서의 변화율 r(s)를 모두 더하라는 의미이다.

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인구 증가

만약 시간에 따른 인구 증가율이 아래와 같다고 하자.

그리고 초기 인수 N(0)=200[명]일 때, 누적 변화 식을 사용하면,

으로 계산된다.

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계속 적분하면,

이고, 최종적으로 N(t)는,

로 계산된다.

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N(t)는 시간에 따른 인구의 누적 변화량으로 의미는 다음과 같다.

• 처음에는 200명인 곳에 시간 t가 흐르면, t^3/6[명]만큼 증가할 것이다.

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누적 강수량

만약 비가 오는 속도가,

라고 할 때, 총 강수량 R(t)는 다음과 같이 구할 수 있다. (단, 초기 강수량 R_0는 0이다.)

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누적 변화량을 활용해,

라 식을 세울 수 있고 적분을 계산하면,

로 R(t)를 구할 수 있다.

그림 1. 비오는 속도 r(t)와 총 강수량 R(t)

일반적으로 강수량은 [그림 1]의 파란색 그래프와 같이 증감을 반복한다. 하지만 누적 강수량은 빨간색 그래프와 같이 외부 유출이 없는 한 단조 증가 형태 그래프를 띤다.

• 강수율은 진동하지만 누적 강수량은 외부 유출이 없는 한 단조 증가한다.
• 총 누적 강수량은 유출입이 없는 환경에서 비가 오는 속도에 의해 결정된다.