【미분적분학 노트】 43. 적분법: 삼각치환 적분

지금까지 우리는 아래와 같이 적분법(積分法, techniques of integration)을 배워왔다.

1. 기본적분: 다항식, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등을 적분하는 기본 적분 공식 목록 (23강, 25강, 26강, 37강)
2. 치환적분 (28강, 40강)
3. 부분적분 (29강, 30강, 41강)

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삼각치환

Trigonometric Substitution

 

적분법이란, 적분에서의 피적분함수를 간단하게 만드는 방법을 정리한 목록으로 '삼각치환'을 활용한 '삼각치환법' 또한 적분법에 속한다.

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삼각치환이란 피적분함수에,

와 같은 루트가 포함되었을 때, 삼각함수의 항등식인,

을 이용하여 식을 간단하게 만드는 방법이다.

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예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해서는,

와 같은 형태의 적분을 풀어야 하는데,

그림 1

 

[그림 1]과 같은 기준 삼각형을 두면, 루트의 x는 (a)(sinθ)로 치환가능하고 이를 적분식에 대입하면 궁극적으로 루트가 사라진다.​

• 삼각치환법의 목적은 치환으로 계산이 어려운 루트 안의 복잡한 식을 삼각형의 성질 및 삼각함수의 항등식을 이용해 단순한 식으로 바꾸는 것이다. ⇒ 루트 속 x의 값을 치환함으로써 피적분함수의 루트가 사라진다.

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만약,

와 같은 적분식이 있을 때 x는 위와 같은 논리로,

 

이고, 이를 루트식 안에 대입해 계산하면,

로 루트가 사라진다.

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참고로 sin^2(θ)는 삼각함수 항등식,

을 사용하여 루트 제거 및 식을 간단하게 만들었다.

​

 

삼각치환 적분

Integration by Trigonometric Substitution

 

위의 삼각치환은,

의 형태를 갖는다.

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위를 포함하여 삼각치환 적분은 루트 형태에 따라 크게 3가지 형태로 나뉘는데,

이고, 이를 치환하기 위한 x의 값은 아래와 같이 정해져 있다.

첫 번째 경우

에서 삼각함수 항등식,

을 사용하여 치환하기 위한 x의 값,

을 유도한다.

​

앞의 예제인,

은 √a^2-x^2의 형태로 x의 값은,

이고, θ에 대해 미분하면 dx는,

로 계산된다.

​

피적분함수의 루트 값은 아래와 같이 정리되는데,

나머지 dx에 대해서도 대입하면,

이 나오고, 반각공식인,

를 사용해 적분 식을 마저 풀어주면,

 

로 계산할 수 있다.

​

원래 적분은 x에 대해 물었으므로,

θ를 x에 대해 위와 같이 복원하면 답은,

이다.

​

위의 문제 풀이를 정리하면 다음과 같다.

[1] 피적분함수의 형태 파악 이후 x구하기

[2] 구한 x를 각도 θ에 대해 미분하기 ⇒ x와 dx를 구한다.

[3] 피적분함수 식에 x와 dx를 대입하여 θ에 대한 적분식 계산 ⇒ 적분 과정에서 반각공식 등 다양한 삼각함수 풀이를 응용한다.

[4] 계산한 적분식의 θ를 x에 대해 복원

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두 번째 경우

그림 2

 

에서 삼각함수 항등식,

를 사용하여 치환하기 위한 x의 값,

를 구한다.

​

​

세 번째 경우

그림 3

 

에서 또한 마찬가지로 삼각함수 항등식,

을 이용하여 치환하기 위한 x의 값,

를 구한다.

​

삼각치환 적분은 위의 세 가지 경우에 대해 단순 치환으로 계산이 어려운 루트 값을 치환을 방법으로 정리하면 아래와 같다.

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삼각치환 적분

■

​

만약,

와 같은 적분을 풀어야 할 경우, 위의 루트는 √a^2-x^2의 꼴로,

그림 4

 

[그림 4]와 같은 기준 삼각형(reference triangle)을 정한 뒤, 차례로 문제 풀이에 따라 계산한다.

• x=2sinθ이고, dx=2cosθdθ이다.
• 풀이에서 sin^2(θ)+cos^2(θ)=1의 항등식을 반복적으로 사용했다.
• csc(θ)=1/sin(θ)의 삼각함수 관계식을 사용했다.