【미분적분학 노트】 45. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 2>

 

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우

Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases

 

이전 단원(【44. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 1>】)에서 우리는 삼각함수 n승의 4가지 경우를 살펴보았다.

https://blog.naver.com/moduphysics/224341986959

 

【미분적분학 노트】 44. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 1>

 

다음 배울 삼각함수의 심화형은 아래와 같은 합성함수 형태이다.

 

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합성된 삼각함수 m, n승(3가지)

합성 삼각함수의 적분 중 먼저,

의 적분 방법에 대해서 알아보자.

​

1) m이 홀수인 경우

과 같이 m이 홀수인 경우 항등식,

를 활용하여 식을 고친 뒤, 치환하여 푼다. 위의 피적분 함수 중 sin^3(x)는,

로 고칠 수 있고 sin^2(x)에 항등식의 좌변을 대입하면 적분 식은,

이 될 것이다. 이제 cosx를 u로 치환하여 치환적분을 하면,

이고,

으로 계산되어 마지막 u를 복원하면 답은,

로 계산된다.

​

2) n이 홀수인 경우

합성함수에서 cos의 지수가 홀수인 경우이다.

 

와 같은 적분이 대표적이며, 마찬가지로 항등식,

을 쓴 뒤 치환을 하여(치환적분법을 사용하여) 적분을 계산한다.

​

3) m,n이 모두 짝수인 경우

합성함수의 두 지수가 모두 짝수인 경우로,

이면 경험적으로 치환적분이 어렵게 된다. 이때는 반각공식(half-angle formula)을 활용한다.

​

두 지수가 모두 짝수라면 아래의 반각공식을 상황에 맞게 사용하면 된다. 문제에 따라,

또는

을 여러 번 쓰는 경우도 있다.

​

예를 들어,

와 같은 문제를 풀 때 첫 번째 반각공식을 활용하여,

와 같이 풀 수 있는데 피적분함수 내의 (cos2x)^2를 cos^2(2x)로 고쳐 다시 반각공식을 취할 수 있다.

 

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다음 적분할 피적분함수는 탄젠트와 시컨트를 포함한다.

삼각함수의 적분은 피적분함수를 간단한 차수로 계산을 가능하게 만드는 전략이 핵심적인데, 탄젠트와 시컨트 계산에는 두 항등식,

을 적절히 사용하는 것이 핵심이다.

​

예를 들어 단순히 x를 p로 바꾸어,

를 푼다고 할 때, 항등식 적용을 위해 sec(p)tan(p)를 하나 분리한 뒤,

항등식 tan^2(x)p=sec^2(p)-1을 사용한다.

이므로,

로 피적분함수를 고칠 수 있다.

​

다음 u=sec(p)로 치환하여 치환적분법을 적용한다.

두 사항을 적분식에 대입하면,

이 된다.

​

u^6를 각 항에 곱해주는 것을 시작으로 단순히 다항식을 적분하면,

이 계산되는데 마지막으로 원래 변수로 복구하기 위해 u를 sec(p)로 바꾸면 최종 정답은,

로 계산된다.

​

치환 요령

위의 피적분함수 치환에서 요령은 다음과 같다.

​

1) tan(x)의 지수가 홀수이면, u=sec(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

​

2) sec(x)의 지수가 짝수이면, u=tan(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

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위의 피적분함수를 풀이하기 위해 사용할 항등식은,

이다.

​

위의 ∫tan^m(x)sec^n(x)dx와 마찬가지로 cot^m(x)csc^n(x)의 차수를 짝수로 맞춘 뒤, 항등식을 적용, 치환적분법을 마지막으로 사용하는데, 치환요령은 다음과 같다.

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치환 요령

1) cot(x)의 지수가 홀수이면, u=csc(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

​

2) csc(x)의 지수가 짝수이면, u=cot(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

​

위의 내용을 정리하면 아래 표와 같다.