【미분적분학 노트】 47. 입체도형의 부피 구하기 (feat. 피라미드 부피 공식)

넓이와 부피

Area and Volume

 

정적분의 넓이를 공부할 때, 우리는 다음 개념을 정성, 정량적으로 학습했다.

• 정성적 기술: 무수한 선들이 모여 면적을 이루듯 x축의 주어진 구간 x와 함숫값 사이 선분 길이 y[그림 1]를 모두 합하면 전체 구간의 '면적'이 나온다.

그림 1. x축의 dx와 함숫값 f(x)에 의한 선분 길이

 

 

• 정량적 기술: 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속할 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형 넓이 S는 아래와 같은 수식으로 구한다.

그림 2

 

만약 [그림 2]와 같이 음의 영역(구간 [c, b])이 있다면 f(x)에 절댓값을 붙인다.

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정적분의 넓이 공식에서 f(x)는 미소 선분에 관한 함수였다. 이제 이 f(x)를 한 차원 더 높여 미소 넓이를 피적분 함수로 잡아 적분을 해보자.

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입체도형의 부피

Determining Volumes

 

정적분에서 피적분함수가 선분에 관한 함수였을 때, 우리는 넓이를 구할 수 있었다. 같은 논리로 피적분함수가 넓이에 관한 함수면, 우리는 부피를 구할 수 있을 것이다.

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그림 3

 

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[그림 3]과 같이 입체 도형이 주어졌을 때 특징은 아래와 같다.

• 입체도형 단면 넓이 S(x): 위 입체도형에 대해 한 직선을 x축으로 정하여 x좌표가 x(a≤x≤b)인 점을 지나고, x축에 수직한 평면으로 입체를 자른 단면을 단면 넓이 S(x)라 한다.
• 입체도형의 부피: V, x좌표가 각각 a, b인 점을 지나고 x축에 수직한 두 평면 사이에 있는 부분의 넓이

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구간 분할

[그림 4]와 같이 닫힌 구간 [a, b]를 n등분하여 각 분점을,

라 하자. 각각의 작은 구간 길이를 Δx라 하면,

이고, 각 분점의 좌표는,

이다.

그림 4

 

작은 기둥 부피

[그림 4]의 S(x_k)는 각 소구간에서의 대표점 x_k를 지나고 x축에 수직한 단면 넓이다. 이 넓이를 밑면으로 하고, 높이 Δx인 얇은 기둥으로 근사하면 S(x_k)를 밑면으로 갖는 부피는,

로 계산된다.

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전체 기둥 부피(입체도형 부피)로 근사

작은 기둥 형태의 미소 (기둥) 부피 S(x_k)Δx를 n개 합하면, 전체 기둥 부피 또는 입체도형 부피를 근사할 수 있으며 식으로는,

와 같이 쓸 수 있다.

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여기서 n의 개수가 증가할수록 각 기둥의 두께는 점점 얇아지고, 근사값은 실제 입체도형 부피에 더욱 가까워진다.

 

입체도형 부피의 일반식

위의 논리를 정리하면,

정적분으로 입체도형의 부피식이 최종 유도된다.

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입체도형의 부피

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<의미>

• V: 구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 지점을 지나고 x축에 수직한 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)인 입체의 부피
• S(x): x에서의 단면의 넓이
• dx: 미소 두께
• S(x)dx: 미소 두께를 높이로 갖는 얇은 단면의 부피

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입체도형의 부피는 닫힌 구간 [a, b]의 임의의 점 x에서 x축에 수직한 평면으로 자른 단면의 넓이 S(x)를 적분한 것이다.

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위 내용은 Riemann sum의 극한을 이용한 입체도형의 부피 공식의 가장 기본적인 원리이다.

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예제 1

피라미드(삼각뿔) 부피 공식

 

그림 5. 피라미드

 

 

기하학에서 피라미드의 부피 공식은 다음과 같다.

여기서 B는 밑면의 넓이, h는 피라미드의 높이이다.

• B는 피라미드의 가장 넓은 밑면적이다.

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위의 공식을 입체도형의 부피와 [그림 5]를 활용해 유도하시오.

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SOLUTION.

피라미드의 부피를 입체도형의 부피 공식을 활용해 풀기 위해서는 [그림 5]와 같이 좌표축을 설정한 뒤 자른 단면 S(x)를 구해야 한다. 위 피라미드에서 S(x)는 선분의 닮음비를 활용해 구한다.

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[그림 5]의 두 번째 그림은 2차원 평면으로 S(x)의 한 변이 되는 s를 나타낸 것으로, 여러 선분 간의 닮은비를 아래와 같이 구할 수 있다.

S(x)는 s^2이므로,

인데, 여기서 A(x)는 피라미드가 갖는 가장 넓은 면적으로 피라미드의 높이이자 전체 적분 구간인 h를 포함한다.

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