【미분적분학 노트】 48. 이상적분 ※예제포함

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지금까지 배운 적분의 개념은 구간이 유한한 경우에 한정되었다. 하지만 실제 자연계의 현상들 중에는 무한한 영역을 다루어야 하는 상황 또한 존재한다. 예를 들어,

• 시간이 무한히 흐르는 경우
• 전기장이나 중력장이 펼쳐진 무한한 공간
• 확률분포의 정의역이 (-∞, +∞)인 경우

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는 무한한 영역을 적분해야 하는 좋은 예시들이다.

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그림 1

 

 

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이상적분(異常積分, improper integral)이란, 적분의 한쪽(상한, 하한) 또는 양쪽 끝이 무한대인 적분을 뜻한다. 계속해서 오염물질을 배출하는 오염원으로부터 바다로 배출하는 총 오염물질의 양을 계산할 때, 오염원이 완전히 없어지지 않는 한은 '무기한'으로 오염물 배출이 발생하므로, 총 오염물질(양)을 계산하는 데 이상적분의 개념이 반드시 들어간다.

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만약 오염물질 배출이 통제되면 배출량은 [그림 1]과 같이 감소하는 그래프를 그릴 것이다. 하지만 완벽한 배출 통제는 사실상 불가능하므로 무기한의 오염원 배출은 필연적으로 발생하는데, 이때 총 오염물질 양은 이상적분 기법을 활용하여 다음과 같이 계산한다.

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이상적분

Improper Integral

 

위의 오염원 예제에서 오염원의 총량은 적분 기호를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

적분에서의 하한 1을 오염물질 배출을 통제한 지 1달 후의 양이라 하자.

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정적분에서 상하한은 지금까지 숫자였다. 하지만 무한대는 더 이상 숫자가 아니므로,

 

로 직접 계산하면 안된다. 대신 극한을 이용한다.

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큰 수 b 설정

이상적분에서 무한대를 적분하기 위해, 임의의 거대한 숫자 b를 ∞대신 아래와 같이 써보자.

위 식은 평범한 정적분인데, 중요한 사실은 이상적분을 위해 b는 계속 무한을 향해 커진다는 점이다.

 

정적분 계산

위의 정적분 식을 풀면,

이고, 식을 마저 전개하면,

최종적으로 2-(2/√b)로 계산된다.

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극한 취하기: 극한의 존재성 확인

앞선 설명에서 b는 계속 무한을 향해 커진다고 했다. 따라서 b는 [그림 2]와 같이 선택적이다.

그림 2. 이상적분에서 b의 선택성

 

또한 b의 수는 무한히 큰 수를 가질 수 있으므로,

 

와 같이 넓이 값 또한 무한히 구할 수 있다.

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위의 데이터 값들을 통해 임의의 상한 b가 점점 커질수록 전체 넓이는 2에 수렴함을 알 수 있다. 왜냐하면 상한 b가 포함된 항,

에 극한(무한대 극한)을 취하면,

이기 때문에 결국,

을 계산한 것과 같다.

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참고로 무한대의 극한 내용,

과 정확히 같다.

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결론적으로 위 이상적분의 정답은,

이다. ⇒ 오염물질의 배출량은 무한대의 시간이 지나더라도 지금과 같은 통제 조건에서는 값 2를 초과한 배출은 결코 일어나지 않는다.

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이상적분의 의의와 공식

극한의 개념을 활용하면 적분 구간은 무한하나 전체 넓이는 유한함을 계산할 수 있다. 또한 적분 구간의 무한성은 (1)상한 무한, (2)하한 무한, 그리고 (3)상, 하한 무한이 있다.

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위쪽 구간이 무한한 이상적분

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아래쪽 구간이 무한한 이상적분

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양쪽 구간이 무한한 이상적분

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위의 이상적분 공식들에서 a, b, c는 모두 실수다.

그림 3. 아래쪽 구간(하한)이 무한인 경우

 

 

예제 1

 

[그림 3]과 같이 하한이 무한일 때,

를 구하시오.

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SOLUTION.

아래쪽 구간이 무한한 이상적분으로 적분을 구해보자.

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우선 하한의 큰 수 a를 아래와 같이 설정한 뒤,

정적분을 계산하면,

이고, a에 무한대를 넣으면 1/a항은 0이 되기 때문에 정답은 1/2로 쉽게 계산할 수 있다.

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즉, [그림 3]의 면적은 1/2이다.

 

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