【미분적분학 노트】 49. 적용: 약물 남용에 관한 역학 모델 (불법약물사용 확산 연구)

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논문 「Threshold Analysis of a Drug Use Epidemic Model (약물 사용 확산 모델의 임계값 분석)」 (Hoppensteadt et al., Mathematical Biosciences, 1981)에는 약물 사용에 관한 흥미로운 역학 모델을 소개한다. 여기서 약물이란 비교적 일상에서 쉽게 구할 수 있는 약 또는 마약으로, 이 약물들이 특정한 임계(臨界, threshold)에서 전염병처럼 (1)폭발적으로 증가할 지 아니면 (2)서서히 잦아들지를 거시적인 관점에서 분석한다.

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논문은 한 명의 약물 사용자가 발생하였을 때, 이후 시간이 지나면서 다른 사람들에게 영향을 주어 아래와 같은 예상 약물 사용자수를 갖는다고 한다.

여기서 N은 약물 비사용자(non-user)이고, a, b, k는 모두 양의 상수이다.

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시간 t가 무한대로 주어졌을 때의 기대값을 구하는 문제로 앞선 챕터에서 배운 이상적분의 개념이 들어간다.

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식의 의미

S는 한 명의 초기 약물 사용자를 시작으로 장기적인 관점에서 기대되는 총 신규 약물 사용자의 수(기대값)로 이상적분을 포함한다.

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제시된 식은 두 개의 함수가 곱해진 형태이다.

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첫 번째 항

위 부분은 한 사람이 시간이 지날수록 다른 사람에게 영향을 미치는 누적 정도를 뜻한다. t=0일 때는,

 

으로 주변 약물 비사용자들에게 영향을 주지 못한다. 그러나 시간이 아주 오래 지났을 때는 그 값이 1에 수렴하여,

최종적으로는,

라는 최대 영향력으로 값이 정리된다.

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재미있는 사실은 a/k에서 각 값 a, b는 특정한 양의 상수로 약물 사용자의 영향력이 시간이 아무리 지나도 무한히 커지지는 않는다는 점이다.

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약물 사용자가 비사용자에 대해 영향력을 행사하는 방법은 아래와 같다.

• 약물 사용자 자체의 영향력(기존 인맥에 대한 소개, 소셜 네트워킹 등)
• 약물 판매망과의 이익 공유

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두 번째 항

첫 번째 항이 시간이 지날수록 영향력이 a/k 값을 향해 커진다면, 두 번째 지수함수 항은 그 영향력이 시간이 지나면서 감소하는(-) 효과[그림 1]를 나타낸다.

그림 1

 

약물 사용자의 영향력 감소는 크게 다음과 같다.

• 약물 치료
• 약물 남용으로 인한 죽음 또는 사회적 격리(체포 등)

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위 지수함수는 약물 사용자 수의 억제를 매우 직접적으로 반영한다.

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따라서 두 함수를 모두 곱한 값을 R(t)로 정의하면,

 

이고 그래프의 경향은,

 

그림 2

 

[그림 2]와 같이 나타난다.

• R(t)의 양의 상수는 각각 a=2, b=0.4, k=0.8로 잡았다.

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이상적분 계산

지금까지는 R(t)의 경향성에 살펴봤다. 지금부터는 S값을 정확하게 구하기 위해 이상적분 식을 풀어보자.

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S=N∫R(t)dt 식에서 적분에 영향을 주지 않는 상수는 우선 적분식 밖으로 뺀다.

다음 괄호를 분배법칙을 이용해 전개하면,

이므로,

로 식을 정리할 수 있다.

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이상적분 풀이

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다음, 이상적분 식을 둘로 나누면,

인데, 첫 번째 이상적분을 풀면,

이다.

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• 부정적분 풀이

• 극한 풀이

여기서 b>0이므로,

이다.

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두 번째 이상적분을 풀면,

대입

첫 번째 이상적분의 결과 1/b와 두 번째 이상적분의 결과 1/(b+k)를 대입한다.

분수를 통분한 뒤 분자를 정리해 대입하면,

이고 k가 약분되어,

를 최종 답으로 구할 수 있다.

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여기서 상수 a, b, k는 다음과 같이 정의한다.

1. a: 최대 영향력의 크기로 그래프 전체가 위로 커지게 만든다.
2. k: 영향력의 증가 속도로 k값이 클수록 그래프의 초기 상승이 더 가파르다.
3. b: 영향력의 감소 속도로 b값이 클수록 그래프의 감소가 더 빠르고, 그래프의 꼬리 또한 짧아진다.

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