【미분적분학 노트】 44. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 1>

 

 

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우

Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases

 

피적분함수의 형태에 따라 삼각함수 적분의 심화형태는 크게 10가지 경우로 소개된다.

​

삼각함수 n승(4가지)

삼각함수에 n승이 취해진 함수를 피적분함수로 하여 적분하는 경우는 크게 4가지이다.

1-1) n이 짝수인 경우

첫 번째 sin함수의 n승을 피적분함수로 둘 때로, n이 (1)짝수인 경우와 (2)홀수인 경우로 다시 분류할 수 있다.

​

우선 짝수인 경우는 아래 두 개 반각공식,

을 활용하여 문제를 푼다.

​

예를 들어,

에서 sin^4(x)는 제시한 첫 번째 반각공식을 활용하여,

로 풀 수 있는데, 이를 마저 전개하면,

 

이 된다.

​

다음 cos^2(2x)는 제시한 두 번째 반각공식을 활용하여,

로 쓸 수 있고 이를 원래 식에 대입하면,

와 같이 괄호 내부를 통분하여 보기 좋게 정리할 수 있다.

​

이제 각 항이 모두 1차식이 되었으므로 적분이 가능하다.

적분 상수 C를 붙여주면,

로 최종 답이 나온다.

​

1-2) n이 홀수인 경우

한편 sin함수의 n승의 n이 홀수인 경우는 아래 삼각함수 성질을 사용한다.

예를 들어,

를 푼다고 할 때, sin^3(x)는,

로 쪼개어 질 수 있다. 이후 sin^2(x)를 위의 기본 항등식으로 치환하면 적분 식은,

와 같이 바뀐다.

​

다음 치환적분을 활용하여, u=cos(x)로 두었을 때,

이고 이를 적분식에 대입하면,

이 된다.

​

(-du)의 (-)부호를 괄호 안으로 넣으면,

이 된다.

​

다음 u에 대해 실제 적분을 한 뒤,

원래의 변수 u=cosx로 되돌리면,

로 답을 구할 수 있다.

​

2)

cos함수의 n승의 경우도 sin함수의 n승 풀이와 마찬가지로 완벽하게 동일한 매커니즘으로 값을 구할 수 있다.

1. n이 짝수이면, 반각공식을 적용한다. ⇒ sin함수의 풀이에서 나온 두 개의 반각공식을 똑같이 사용한다.
2. n이 홀수이면, 아래 항등식을 활용한다.

 

3-1) n이 짝수인 경우

위와 같은 삼각함수를 풀기 위해서, sec^2(x)가 tan(x)의 미분값이라는 점을 활용한다.

• 아래 기본 항등식을 활용한다.

​

예를 들어,

와 같은 식을 적분한다고 할 때 sec^4(x)는,

로 분리 가능하고, 위의 항등식을 앞항에 대입해,

로 고쳐쓸 수 있다.

​

이를 적분식에 대입하면,

 

이고, 적분 풀이를 위해 u=tan(x)로 치환(치환적분)해준다.

치환적분을 위해 구한 값들을 적분 식에 그대로 대입하면,

이고, 치환한 항을 적분하면,

이 나온다. 마지막으로 u=tan(x)를 다시 복원시키면,

로 구할 수 있다.

​

3-2) n이 홀수인 경우

만약,

와 같이 n이 홀수라면, n이 짝수일 때의 단순치환이 되지 않는 특징을 갖는다.

​

따라서 부분적분법을 사용한 뒤 자기 자신을 이항하는 형태로 문제를 풀어야 한다.

​

적분이 쉬운 형태로 식을 우선 분리한다.

다음 부분적분 공식,

에 적용하기 위해 다음과 같이 값들을 설정한다.

이를 부분적분 공식에 대입하면 아래와 같다.

우변의 두 번째 항을 좀 더 계산하면,

이다.

​

이제 항등식,

을 대입하자.

​

좌변과 우변에 모두 구하고자 하는 ∫sec^3(x)dx가 존재하는데, 우변의 항을 좌변으로 이항하여 묶어준다.

다음 ∫sec(x)dx를 구해야 하는데 이는 기본 적분공식으로,

이다.

​

이 값을 식에 대입하면,

이고, 양변을 2로 나눈 뒤 적분상수를 붙여주면 최종 결과가 나온다.

 

4)

tan^n(x)는 sec^2(x)과 달리 n의 값이 홀수, 짝수인 것과 상관없이 항등식,

을 활용한다.

​

만약,

를 풀 경우, tan^2(x)로 분리하는 것으로 계산을 시작한다.

먼저 앞의 항은 치환적분을 활용해 u=tan(x)로 계산하면,

이 최종적으로 나오고,

​

뒤의 항은 다시 tan(x)tan^2(x)로 쪼개어 공식을 적용한다.

위의 과정을 결합하면,

이다.

​

그리고 식을 다시 정리하면,

로 적을 수 있다.

​

위 우변의 두 번째 항을 적분하기 위해서 다시 치환적분을 사용하면,

이고, 세 번째 항은 tan(x)의 기본 적분식인,

로 계산한다.

​

위의 모든 결과를 종합하여 대입하면,

로 값을 구할 수 있다.