【미분적분학 노트】 41. 적분법: 정적분 부분적분 ※예제포함

 

 

복습: 부분적분

Review: Integration by Parts

 

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【미분적분학 노트】 29. 적분법: 부분적분 ※예제포함

 

 

【29. 적분법: 부분적분】에서 부분적분에 관한 아래 사항들을 학습하였다.

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• 만약 u(x)와 v(x)가 미분가능할 때, 이들은 아래와 같이 적분할 수 있다.

• 부분적분의 절차

1. 피적분함수가 합성함수일 때 u와 dv를 정한다. 미분을 했을 때 간단해지는 함수를 u로 적분을 했을 때 간단해지는 함수를 dv로 선택하는데, 이때 I LATE 규약을 사용한다. ⇒ 역삼각함수-로그함수-대수함수-삼각함수-지수함수(ILATE)
2. u, dv를 활용하여 du와 v를 구한다. ⇒ du는 u를 미분한 결과이고, v는 적분한 결과이다.
3. 위의 부분적분 공식에 u, dv, du, v를 모두 대입한다.

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부분적분은 풀이에 따라 한 번 더 부분적분을 사용하는 경우도 있는데 예를 들어,

와 같은 적분을 풀 때, u는 x^2으로 두고 dv는 e^xdx로 둔다면 부분적분의 절차 후,

 

와 같이 결과가 나오는 데, 여기서 두 번째 항은 한 번 더 부분적분을 해주어야 한다. 따라서 u를 x, dv를 e^xdx로 두고 계산하면 최종적으로,

와 같이 적분을 풀 수 있다.

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예제 1

 

아래 적분을 계산하시오.

SOLUTION.

xlnx는 합성함수로 u와 dv를 각각 u=x, dv=lnxdx로 설정한다. 다음 du와 v를 구할 수 있는데 부분적분에 필요한 4가지 값의 결과는,

와 같다. 이제 이 값들을 부분적분 식에 대입하면 아래와 같이 최종 풀이된다.

 

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정적분 부분적분

Integration by Parts for Definite Integrals

 

만약 두 함수 f(x)와 g(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분가능하면 다음 공식이 성립한다.

위의 식은 곱의 미분법으로 쉽게 증명가능한데 우선,

에 양변을 적분하면,

이고, 미적분학의 기본정리에 의해 우변항이,

로 바뀌며, 이를 대입 후 정리하면,

 

이 최종 유도된다.

​

만약 f(x)=u, g(x)=v로 쓰면, 정적분 부분적분의 최종 식은 다음과 같다.

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정적분 부분적분

만약 u, v가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분가능할 때, 합성함수는 아래와 같이 적분할 수 있다.

■

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부정적분의 부분적분과 마찬가지로 정적분 부분적분 또한 미분할 함수와 적분할 함수를 고르는 것이 중요하다.

 

합성함수 꼴	미분할 함수	적분할 함수
(다항함수)(지수함수)	다항	지수
(다항함수)(삼각함수)	다항	삼각
(다항함수)(로그함수)	로그	다항
(다항함수)(역삼각함수)	역삼각	다항

 

예를 들어,

와 같은 식이 있을 때 u는 역삼각함수 tan^-1x를, dv는 dx로 두고 계산한다.

​

 

예제 2

 

위의 역삼각함수를 적분하시오.

​

SOLUTION.

u와 dv를 설정하였기 때문에 나머지 du와 v를 다음과 같이 구한다.

이제 이 값을 정적분 부분적분 식에 대입하면,

인데, 두 번째 항 적분은 치환을 하여 계산하도록 한다. ⇒ u=x^2+1 설정

마지막으로 이를 대입하여 전체 부분적분 식을 계산하면,

와 같이 값이 나온다.

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적분의 결과를 그래프 상 면적으로 나타내면 [그림 1]과 같다.

 

그림 1

 

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예제 3

 

다음 적분을 구하시오.

SOLUTION.

[1] u, dv를 우선 설정하고 나머지 du, v를 모두 구한다.

du=dx, v=-cosx

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[2] 정적분 부분적분 식에 대입한다.

위의 식은 [그림 2]와 같은 삼각함수의 곡선 값에 따라 0+1이 되므로 최종값은 1이다.

 

그림 2

 

 

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