【미분적분학 노트】 38. 회전체 부피 구하기 - 절단면법(단면 분할법, Slicing Method)

 

부피에 관하여

The Concept of Volume

 

그림 1

 

넓이가 2차원 영역의 크기를 나타낸 수치적 측정값이라면, 부피는 3차원 입체의 크기를 나타내는 수치적 측정값이다. 어떤 공간에서 부피는 3개의 길이로 표현[그림 1]되는데 각각의 명칭은 다음과 같다.

• 길이(length, L, l)
• 너비(width, W, w)
• 높이(height, H, h)

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[그림 1]과 같은 직육면체의 부피는,

로 쉽게 계산할 수 있다.

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참고로 length와 width는 평면 상에 존재하는 두 개의 길이로 이를 곱하면 입체가 가진 단면적(밑면) A이고 이를 반영하면, V=Ah로 쓸 수 있다.

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그림 2. 다양한 모양이 갖는 부피 수치

 

 

[그림 2]는 초중등 과정에서 배우는 부피 공식으로 기하학으로 매우 쉽게 구할 수 있지만, 모든 공식을 적분을 활용하여 유도할 수도 있다.

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절단면법(단면 분할법)

Slicing Method

 

먼저 원기둥의 부피를 구한다고 하자.

그림 3. 특정 원기둥의 단면적(cross section) [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.134]

 

원기둥은 어떤 평면 도형을 그 도형에 수직한 직선을 따라 평행이동하며 만들어진 입체이고, 이 직선을 축(axis)이라고 한다. 또한 특정 원기둥의 단면은 [그림 3]의 두 번째 그림과 같이 나타나는데, 여기서 단면(cross section)은 평면이 입체와 만나는 부분(교집합)으로 정의한다.

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원기둥의 핵심은 축의 어떠한 지점에서도 수직한 방향으로 잘랐을 때 그 단면의 모양과 넓이가 완전 동일하다는 사실이다.

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따라서 모든 단면의 넓이가 같으므로 부피식,

의 두 값 A와 h를 각각,

• A: 단면의 넓이
• h: 높이

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로 정의하고 계산하면,

이 나온다.

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위 식은 원기둥의 밑면이 직원(right circle)일 때 성립한다.

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그림 4 [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.135]

 

 

그러나 모든 입체가 원기둥처럼 일정한 단면을 갖는 것은 아니다. 만약 [그림 4]와 같이 축에 따라 단면이 계속 변하고, 또 이미 알려진 기본입체(구, 원뿔, 피라미드 등)가 아니라면 이 입체의 부피를 계산하는 공식은 따로 존재하지 않을 거다. 이러한 경우에 부피를 구할 수 있는 방법이 바로 절단면법을 활용한 정적분이다.

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절단면법 | Slicing Method

1. 부피를 구하기 위한 절단면을 결정한다.
2. 절단면의 면적을 계산한다.
3. 면적을 구간에 대해 적분한다.

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절단면법 또는 단면 분할법의 아이디어는 매우 간단하다. 입체를 아주 얇은 조각(slice)으로 잘라 각 조각의 부피를 근사한 뒤 모든 조각의 부피를 더하면 전체 부피를 구할 수 있다.

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그림 5 [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.135]

 

 

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구간 분할과 조각 부피 근사

[그림 5]와 같이 단면의 넓이는 축에 따라 일정하지 않기 때문에 그저 각 위치의 단면 넓이를 A(x)로 둔다. 다음, 구간을 [a, b]까지 x축에 대해 같은 간격으로 분할하고 각 구간에 해당하는 얇은 조각을 S_i라고 하자.

S_i는 구간 [x_i-1, x_i]의 얇게 떠내어(slicing) 만든 얇은 조각이다.

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각 구간 안에 임의의 점 x_i*를 선택하면, 그 위치에서의 단면의 넓이를,

로 쓸 수 있다.

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또한 조각의 두께는 Δx로 잡을 수 있는데, 그러면 각 조각의 부피는,

로 근사할 수 있다.

• 단면이 불규칙적인 입체라도 매우 얇게 slicing한 입체의 미소 부피는 여전히 (단면 넓이) × (두께)로 계산할 수 있다.

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전체 부피 근사

위에서 구한 조각 부피를 모두 더해보자. 입체 전체의 부피는 리만합을 활용해,

로 구할 수 있다.

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그리고 위의 리만합을 적분 식으로 표현하기 위해서 조각의 개수를 n→∞로 늘리면(무한히 많이 두면), integral 식으로,

이 나온다.

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절단면법 정적분 | Definite Integral of Slicing Method

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그림 6 [출처: 『Calculus Volume 2』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, 2016, p.139]

 

 

만약 [그림 6]과 같은 스피커 모양의 입체가 있을 때, 이는 함수 f(x)=x^2-4x+5의 [1, 4] 구간을 x축을 중심으로 회전시켰을 때 나온 모양으로 간주할 수 있고, slicing method를 활용해 [그림 6]의 입체 부피를 다음과 같이 구할 수 있다.

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[1] x축에 대해 회전한 부피의 일반식은,

이다.

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[2] x축에 대해 절단면은 원으로 나타난다. 따라서 절단면은 원의 넓이 공식 πr^2을 활용해,

로 쓸 수 있다.

• x축을 중심으로 회전하였을 때 원의 반지름은 평면에서의 함수의 높이와 같다.

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[3] 마지막으로 이를 definite integral 식에 구간 [1, 4]를 상하한으로 대입하면,

으로 입체 부피가 최종 계산된다.