【미분적분학 노트】 46. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 3>

 

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우

Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases

 

삼각함수의 곱 형태는 직접 적분하기가 매우 어렵다. 이때 곱을 합(또는 차)으로 변환하는 공식(곱-합 공식, product-to-sum formula(PTS formula))을 사용하면 적분이 매우 쉬워진다.

​

심화 삼각함수 적분 중 마지막 3가지는 삼각함수의 곱 형태로 나타나는 피적분함수의 적분법이다.

위의 식에서 m와 n은 임의의 상수로, 예를 들어 sin(2x)sin(3x)의 그래프는 다음과 같이 나타난다.

 

그림 1. sin(2x)sin(3x)의 그래프

 

전략 8: 피적분함수 sin(mx)sin(nx) 적분 구하기

삼각함수 sin끼리 서로 곱하였을 때, 합 공식,

 

를 사용한다.

​

여기서 A=mx, B=nx라 할 수 있으므로,

로 식을 고칠 수 있다.

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그림 2. sin(3x)sin(5x)의 그래프

 

예를 들어,

라는 적분을 풀 때, 피적분함수는 PTS를 통해 다음과 같이 고쳐쓸 수 있다.

다음 각각의 적분은 삼각함수 적분의 기본 공식(부정적분)인,

을 활용하여 푼다.

마지막으로 정리하면,

이다.

​

전략 9: 피적분함수 cos(mx)cos(nx) 적분 구하기

삼각함수 cos끼리 서로 곱하였는 때, 합 공식,

를 사용한다.

​

여기서 A=mx, B=nx라 할 수 있으므로,

이다.

​

그림 3. cos(2x)cos(5x)의 그래프

 

예를 들어,

 

 

를 푼다고 하자.

​

피적분함수는 PTS를 통해,

와 같이 고쳐쓸 수 있고, 삼각함수 적분의 기본 공식인,

를 다시 한 번 활용하여 적분한다.

마지막으로 정리하면,

로 계산된다.

​

전략 10: 피적분함수 sin(mx)cos(nx) 적분 구하기

삼각함수 sin과 cos이 서로 곱해졌을 때, 합 공식,

를 사용하는데, 여기서 A=mx, B=nx이므로,

와 같이 피적분함수를 고칠 수 있다.

​

그림 4. sin(3x)cos(5x)의 그래프

 

예를 들어,

와 같은 적분을 풀 때, 피적분함수는 sin과 cos의 곱이고, PTS를 쓰면,

이다.

​

참고로 위 풀이에서는 삼각함수 적분의 기본공식인,

와 sin함수의 특징 중 하나인,

가 사용됐다.

​

이제 적분을 해주면,

이고 마지막으로 정리하면,

가 계산된다.

​

3가지 삼각함수 곱 적분형태를 구할 때 필요한 핵심 PTS 공식은 다음과 같다.

또는 조금 더 간단하게,

라고도 쓸 수 있다.