【미분적분학 노트 Ⅱ】 10. 적용: 스칼라곱 - 일(Work)

 

 

스칼라곱은 두 벡터 A, B가 있을 때 둘을 곱하여 하나의 스칼라량을 얻는 연산이다. 스칼라량은 한 개의 수로 대표되므로, 방향은 존재하지 않으며, 스칼라곱의 공식은 다음과 같다.

벡터 A, B를 성분으로 표현하면,

이다. (3차원 상에서의 두 벡터의 스칼라곱)

 

일과 운동에너지

Work and Kinetic Energy

 

어떤 물체에 힘을 작용해 그 물체를 더욱 빠른 속력으로 가속시키면, 물체의 운동에너지(kinetic energy)는 증가한다.

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운동에너지

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<의미>

• m: 물체의 질량으로 단위는 [kg]
• v: 물체의 속력으로 단위는 [m/s]

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마찬가지로 힘을 가하여 물체를 '감속'시키면 물체의 운동에너지 또한 감소한다. 힘을 통해 에너지가 외부로부터 물체에 전달되거나 또는 물체에서 외부로 전달되는 것을 운동에너지의 변화량으로 설명할 수 있다. 이때 힘을 통해 에너지가 전달되는 과정을 '힘이 물체에 한 일 W'이라 정의한다.

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즉, 일이란 열과 같이 에너지를 전달하는 방법이고 고전역학에서는 운동에너지의 변화량으로 나타난다.

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일

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<의미>

• W: 일정한 힘(constant force) F가 직선 변위 d를 이동하는 동안 질량에 가해진 일
• F: 질량에 가해진 힘
• d: 직선 변위

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일은 스칼라곱으로 작성가능한 대표적인 물리량이다. 단위는 줄(Joule, [J])이다.

예를 들어 1[J]만큼의 일 W은, 1N인 어떤 물체를 1m 위로 들어 올릴 때 한 일과 같다.

• 1[N]의 무게는 대략 102[g]=0.102[kg] 정도이다.

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일정한 힘이 한 일과 일의 부호

 

그림 1. 물체에 일정하게 작용하는 힘과 일 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.330]

 

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[그림 1]과 같이 일정하게 작용한 힘이 한 일은 스칼라곱의 크기로 다음과 같이 쓸 수 있다.

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일정한 힘이 한 일

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일정한 힘이 한 일 공식에서 중요한 사실은 힘이 이동방향과 비스듬한 각도 φ를 이루며 작용할 때, 실제 물체 이동에 기여하는 힘은 Fcosφ라는 점이다. 이때 F는 변위와 평행하므로 아래와 같이 쓰기도 한다.

이를 공식에 대입하면,

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또한 힘과 변위 사이의 각도 φ에 의해 일의 부호가 결정된다.

 

 

• 힘이 물체의 운동을 도와주는 방향일 때 W>0이다.
• 힘이 물체의 운동을 방해하는 방향일 때 W<0이다. 대표적으로 마찰력이 있다.
• 힘과 이동방향이 수직(φ=90)이거나 또는 변위가 발생하지 않을 때, W=0이다.

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위의 규약에 따라 [그림 1]의 (b)와 (c)는 W=0이다.

 

그림 2. 양, 음, 0의 일

 

 

 

[그림 2]는 순차적으로 양의 일, 음의 일, 그리고 W=0인 일의 상황을 도식화한 것이다.

• 힘이 존재한다고 일이 발생하는 것이 아니라 오히려 힘과 변위 사이의 각도가 일의 존재 및 부호성을 결정한다.

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알짜일(총일) | Total Work

여러 힘이 하나의 물체에 작용할 때, 전체 힘이 한 알짜일(총일, total work)은 두 가지 방식으로 구할 수 있다.

1. 각각의 힘이 한 일을 구한 뒤 모두 더한다.
2. 먼저 알짜힘(net force)을 구한 뒤 일반적인 일의 공식으로 계산한다.

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첫 번째 각각의 힘이 한 일을 모두 더하는 식은 다음과 같다.

 

 

만약 트랙터가 화물이 실린 썰매를 (1)지면으로부터 36.9도씨만큼 대각으로 들린 상태에서 5000N의 힘으로 20m 끌고, (2)마찰력 또한 변위의 정반대 방향으로 3500N만큼 걸린다고 할 때, 각각의 일은 아래와 같이 구한다.

 

 

두 힘이 한 일을 더하면(10[kJ]) 첫 번쨰 방식으로 알짜일을 구할 수 있다.

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합력(알짜힘)을 구한 뒤 일을 계산하는 방법은 아래와 같다.

x축을 기준으로 합력을 구하면,

이고 여기에 20[m]를 곱하면 알짜일 10000[J]=10[kJ]을 마찬가지로 구할 수 있다.

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일-에너지 정리

Work-Energy Theorem

 

일은 에너지를 전달하는 방법이었고 이는 운동에너지의 변화량으로 표현된다. 이러한 사실은 알짜일과 뉴턴의 운동 제2법칙 공식을 활용해 유도 가능한데, 상세한 내용은 다음과 같다.

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입자가 아주 조금 이동했을 때의 알짜일

질량을 가진 입자가 아주 작은 변위 dr만큼 이동했다고 할 때, 알짜일의 미소량은,

와 같이 스칼라곱으로 정의된다.

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<의미>

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뉴턴의 운동 제2법칙 대입

뉴턴의 운동 제2법칙,

는 dW_net의 알짜힘 공식에 또한 대입 가능하며, 그 결과는,

식 1

 

이다.

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속도와 변위의 관계

속도 v는 위치에 대한 변화율(dr/dt)로 [식 1]를,

과 같이 변경한 뒤,

를 대입하면,

과 같다.

​

여기서 dot product는,

의 성질을 만족하기 때문에 결국,

식 2

 

로 적어도 상관없다.

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성분 나타내기

벡터 v와 d(벡터 v)를 직교좌표계의 성분으로 나타내면,

이고, 이를 스칼라곱 해주면,

식 3

 

이다.

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[식 3]의 내용을 [식 2]의 자리에 대입하면,

이다.

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경로 상의 알짜일

이제는 입자가 작은 변위가 아닌 특정 경로 상의 점 A(처음 위치)에서 B(나중 위치)까지 이동한다고 하자. 전체 알짜일은 적분을 활용하여,

식 4

으로 쓸 수 있는데 여기서 dW_net은 [식 4]와 정확히 같은 내용으로,

이다.

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각 항의 적분은 선형성에 따라 따로 적분이 가능한데,

이고, 이를 적분 경로 A, B를 고려하여 정적분으로 쓰면,

이다.

​

m/2은 공통 인자로 밖으로 빼내면,

인데, 각 축의 속력을 모두 고려한 속력 v는,

이므로,

로 '알짜일은 어떤 물체의 운동에너지의 변화량(나중 운동에너지 - 처음 운동에너지)'으로 나타남을 증명할 수 있다.

 

일-운동에너지 정리

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