【미분적분학 노트 Ⅱ】 09. 벡터 곱하기 - 스칼라곱과 벡터곱

물리학에서 물리량은 (1)스칼라량과 (2)벡터량으로 크게 나뉜다. 스칼라량은 한 가지의 숫자로 표현되는 양으로 스칼라량 끼리 곱하기(multiplication)를 하면 한 개의 수로 나온다. 예를 들어 질량과 속력은 대표적인 스칼라량인데, 둘은 단위 [kg], [m/s]이고, 둘을 아래와 같이 곱하면,

운동에너지라는 새로운 스칼라량을 도출하며, 한 개의 수로 대표된다.

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만약, 2kg 짜리 질량체가 3m/s로 움직일 때, 운동에너지는,

로 간단히 계산된다. 중요한 사실은 3m/s로 움직일 때 운동에너지의 크기는 질량이 오른쪽으로 가던 왼쪽으로 가던 운동에너지의 크기에는 전혀 영향을 주지 않는다는 점이다.

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그러나 벡터는 크기와 방향을 동시에 가지고 있다. 따라서 두 개의 벡터 곱하기는 다음과 같은 질문을 낳는다.

 

두 벡터가 같은 방향으로 얼마나 작용하고, 또한 서로 수직인 방향으로는 얼마나 작용하는가?

 

두 벡터를 곱할 때는 항상 방향을 고려해줘야 하는데, 이때 두 벡터를 곱한 결과가 스칼라량이면 스칼라곱, 두 벡터를 곱한 결과가 벡터량이면 벡터곱이 된다.

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스칼라곱(내적)

Scalar Product(Dot Product)

 

벡터에 벡터를 곱하는 방법은 크게 두 가지로, 곱한 결과의 물리량 특성에 따라 (1)스칼라곱과 (2)벡터곱으로 나뉜다.

그림 1. 사이각 φ를 갖는 두 개의 벡터 a, b

 

[그림 1]과 같이 엇갈린 벡터 사이의 각 φ를 가졌을 때 두 벡터 a, b의 스칼라곱은 다음과 같이 정의한다.

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스칼라곱

■

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두 벡터 a, b의 스칼라곱은 두 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각 φ 사이의 코사인 곱으로 정의되는 '스칼라량'이다.

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<의미>

• a: 벡터 a의 크기
• b: 벡터 b의 크기
• φ: 벡터 a와 b 사이의 각도로 φ와 360-φ의 두 각도 cos값은 모두 같기 때문에 어느 각도에서나 스칼라곱 식을 사용할 수 있다.

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성분 분석

두 벡터는 각각에 대해 'X'방향에 대한 성분[그림 2]을 갖는다.

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예를 들어, 벡터 a의 'b'방향에 대한 성분은,

이다. 한편 벡터 b의 'a'방향에 대한 성분은,

이다.

그림 2. X방향에 대한 벡터 a, b의 성분

 

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component는 스칼라량이므로, 한 개의 수만 갖는다.

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그리고 스칼라곱의 결과 또한 한 개의 수만 가지므로 각 성분을 강조하여,

로 쓸 수도 있다.

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성분으로 표현한 식을 통해 우리는 dot product가 교환법칙을 만족함을 알 수 있다.

 

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만약 두 벡터가 3차원 상에 존재할 때, dot product는 단위벡터를 적어 아래와 같이 식을 쓸 수 있다.

 

식 1

 

여기서 식을 간단히 하기 위해 단위벡터의 내적에 대해서 알아야 하는데, 연산 결과는 다음과 같다.

식 2

 

두 개의 같은 단위벡터에 대한 dot product는, 서로 평행하기 때문에 cos(0)=1이 되어 1로 계산된다.

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[식 1]을 전개한 이후 [식 2]를 각 항에 대입하면,

라는 식을 최종적으로 얻을 수 있다.

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스칼라곱의 성질

내적의 성질은 크게 4가지가 알려져 있다. u, v, w를 벡터라 하고, c를 스칼라라고 하자.

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내적 교환법칙

두 벡터의 내적은 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과이다.

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내적 분배법칙

벡터의 합에 대한 내적은 각각의 벡터와 내적한 것의 합과 같다.

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내적 분배법칙은 [식 1]을 전개할 때 활용되었다.

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내적 결합법칙

스칼라 c를 내적 앞에 곱하거나, 어느 한 벡터에 먼저 곱한 뒤 내적을 해도 두 결과는 같다.

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내적 크기

벡터 v를 자기 자신과 내적하면, 그 결과는 벡터의 크기의 제곱과 같다.

먼저 두 벡터를 내적하면,

식 3

 

로 계산된다.

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또한, 3차원 상에서 벡터 v의 크기는,

인데, 이를 제곱하면,

식 4

 

이고 [식 3]과 [식 4]는 정확하게 일치한다.

 

벡터곱(외적)

Vector Product(Cross Product)

 

두 벡터를 곱하였을 때, 그 결과가 새로운 벡터가 나오는 곱이 있는데, 이를 벡터곱이라 한다.

• 두 벡터를 곱하였을 때, 그 결과로 새로운 벡터가 '생성'된다. ⇒ 이때 새롭게 생성된 벡터는 새로운 크기와 방향을 갖는다.

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두 벡터 A, B의 벡터곱과 그 결과 벡터 C는 다음과 같이 쓴다.

 

 

새로운 결과 벡터 C에 대한 크기와 방향을 구하는 것이 외적 계산의 핵심이다.

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한편 만약 외적을 성분과 단위벡터를 사용해 표현한다면,

인데, 외적 또한 분배법칙이 성립하므로,

으로 계산되어, 최종적으로는,

 

로 표기 가능하다.

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외적의 크기

벡터 A와 B를 외적하였을 때, 새로운 벡터 C의 크기는 아래와 같다.

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벡터곱 크기

■

또는 외적 크기를 절대값 기호를 포함하여 아래와 같이 쓰기도 한다.

• 벡터 A와 벡터 B가 서로 수직할 때 그 크기가 최대이다.
• 절대값으로 값을 한정하였기 때문에, 그 크기는 둘의 방향과 상관없이 항상 양수이다.

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성분으로 계산했을 때, 벡터곱의 각 벡터는,

으로 쓸 수 있는데, 여기서 크기는,

식 5

 

[식 5]에서의 괄호( )안의 전체 합과 같다.

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그림 3. 벡터곱 크기는 평행사변형의 넓이와 같다.

 

또한 기하학적으로 외적의 크기는 평행사변형의 넓이[그림 3]와 같다. 평행사변형의 넓이는 (밑변)×(높이)인데, 여기서 높이는,

 

 

이고,

 

로 쉽게 증명 가능하다.

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외적의 방향

그림 4. 오른손 규칙

 

 

두 벡터 외적의 방향을 결정하는 것은 오른손 규칙[그림 4]이다. 오른손의 네 손가락을 벡터 A로 우선 편 다음 벡터 B쪽으로 감아쥔다. 이때 네 손가락에 수직한 엄지손가락이 있는 데, 이것의 방향이 바로 새롭게 생성된 벡터 C의 방향(외적 방향)이다. 만약 벡터곱의 순서가 바뀐다면, 방향이 [그림 4]와 같이 정반대가 된다.

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벡터곱의 성질

외적의 성질은 크게 6가지가 알려져 있다. u, v, w를 벡터라 하고, c를 스칼라라고 하자.

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반교환법칙

두 벡터의 외적은 순서를 바꾸면 결과의 방향이 정반대가 된다.

오른손 법칙에서 이미 확인하였다.

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분배법칙

벡터의 합에 대해 벡터곱을 분배할 수 있다.

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상수에 의한 곱셈

스칼라 c를 벡터곱 전체에 곱하거나, 두 벡터 중 어느 한 벡터에 먼저 곱한 뒤 벡터곱을 계산해도 결과는 모두 같다.

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영벡터와의 벡터곱

어떤 벡터를 영벡터와 벡터곱하면 결과는 영벡터가 나온다.

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벡터 자신과의 벡터곱

어떤 벡터를 자기 자신과 벡터곱하면 결과는 영벡터이다.

벡터가 서로 같은 방향일 때, sin(0)=0이므로,

 

로 쉽게 계산·증명된다.

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스칼라 삼중곱

스칼라 삼중곱(scalar triple product)은 아래와 같다.