【미분적분학 노트 Ⅱ】 06. 적용: 열역학 제1법칙 <PART 1> (feat. 열역학적 과정 - 단열, 등적, 순환, 자유팽창)

 

열역학 과정에서 일과 열

Work and Heat in Thermodynamics

 

그림 1. 피스톤 - 열역학적 계 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 2』, p.110]

 

 

물리학의 하위 분야로 열역학(熱力學, thermodynamics)은 열과 일 사이의 관계를 설명하는 학문으로, 열역학적 과정을 이해하기 위해 [그림 1]과 같은 피스톤 계(界, system)를 예로 들겠다. 피스톤은 경계(boundary)를 두고 내부 시스템과 환경(surroundings)이 분명히 나뉘며, 피스톤의 실린더 내부에는 기체가 들어 있다.

​

열역학에서 계의 상태는 몇 가지 물리량으로 결정된다. 이때 물리량을 상태변수(狀態變數, state variables)라 하는데, 종류는 다음과 같다.

• 압력 p
• 부피 V
• 온도 T
• 내부에너지 U (또는 E_int)

​

상태 변수는 현재의 계가 어떤 상태인지'만'을 나타내므로, 처음 상태와 마지막 상태를 알면 그 변화량이 결정된다. 예를 들어 내부에너지의 변화는,

로 어떠한 열역학적 과정을 거쳤는지와는 완전히 무관하게 처음, 나중 상태만 알면 변화량은 항상 일정하게 계산된다.

​

반면, 열역학 과정의 경로(path)를 고려해야 하는 양도 있는데 대표적으로 일 W와 열 Q가 그것이다. 일과 열은 경로 함수(process function) 또는 과정 함수로 분류되며, 이들은 상태를 나타내는 양이 아니라 ​상태가 변화하는 과정에서 정의되는 것이 특징이다.

​

피스톤 계 이해하기: 일과 열

피스톤 내부의 기체가 갖는 부피(실린더 부피)는 V이고, 원통 벽면과 피스톤에는 같은 크기의 일정한 압력 p가 작용한다. 피스톤의 단면을 A라 했을 때, 기체가 피스톤을 미는 힘은,

이다.

​

다음, (미소) 일 dW의 정의는 다음과 같다.

 

그림 2. 갇힌 기체에 의한 일 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 2』, p.113]

 

​

만약 [그림 2]와 같이 갇힌 기체에 의해 피스톤 부피가 팽창 및 압축되었을 때, 일로서 관심을 갖는 힘은 '기체가 피스톤에 가하는 힘'이다. ⇒ 기체가 피스톤에 가하는 힘 pA이며, 이는 피스톤의 움직임 Adx=dV로 반영된다.

​

피스톤 내부의 실린더 부피는 곧 갇힌 기체의 부피로,

1. 부피가 줄어들면, 기체는 압축된 것이고 따라서 미소 부피 변화량 dV는 dV<0이다. ⇒ (-)부호
2. 부피가 늘어나면, 기체는 팽창한 것이고 따라서 미소 부피 변화량 dV는 dV>0이다. ⇒ (+)부호

​

일반 역학에서 힘이 물체를 변위만큼 이동시킬 때 일이 발생했듯, 열역학 계에서는 기체가 피스톤에 외력을 가해 일을 하는데,

1. 실린더 내의 기체가 팽창하면서 피스톤을 밀어내면, '계가 일을 한 것'이고,
2. 실린더 내의 기체가 압축되면서 피스톤이 눌리면, '계에 일이 가해진 것'이다.

​

즉, 실린더 내의 부피가 증가하면(팽창),

이고, 실린더 내의 부피가 감소하면(압축),

이다.

​

dW는 미소부피변화량으로 부피가 V_i(초기 부피)에서 V_f(최종 부피)로 정해져 있는 경우, 기체가 한 총 일 W은 아래 식을 따른다.

​

기체가 한 일

■

​

기체가 한 일을 활용하면, 압력이 일정한 경우 부피 증가 시 양의 일, 부피 감소 시 음의 일을 정량적으로 계산할 수 있다.

​

 

그림 3. 피스톤 실린더 부피가 V_1에서 V_2로 천천히 감소했을 때, pV 도표 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 2』, p.113]

 

 

​

피스톤의 상태변수 p, V는 [그림 3]의 pV 도표(pV diagram, pV curve)와 같이 곡선을 그린다. 기체가 지나가는 과정 동안 각 단계에서의 압력과 부피를 알면 기체의 상태를 x축 부피 V, y축 압력 p으로 표현할 수 있다. 특히 pV 곡선의 아래 면적은 기체가 한 일을 도식적으로 나타낸 것이다.

​

한편, 열역학 계에서 계와 환경 사이에 교환된 열을 Q라 한다. 만약 계에 열이 공급되면 Q>0이고, 계로부터 열이 방출되면 Q<0이다.

 

열역학 제1법칙

First Law of Thermodynamics

 

계가 하거나 가해진 일을 W라 하고, 계와 환경 사이에 교환된 열을 Q라 하였다. 이들을 조합하면 계의 내부에너지(internal energy)를 얻을 수 있는데, 이를 식으로 나타낸 것이 열역학 제1법칙이다.

​

열역학 제1법칙

■

​

열역학 제1법칙은 에너지 보존법칙의 특수한 경우로, 계에는 내부에너지의 변화만 일어나며 그 에너지는 열과 일에 의해서만 전달된다고 설명한다.

​

열과 일에 대한 부호 규약은 다음과 같다.

 

​

부호 규약에 따르면, 기체에 의해 계가 일을 하거나(피스톤 실린더 부피 증가), 계로부터 열이 빠져 나가면 계의 내부에너지 E_int는 감소한다.

​

열역학적 과정: 단열과정 | Adiabatic Process

열역학 제1법칙에서 계의 내부에너지 변화량은 계에 전해진 열 Q과 피스톤이 한 일 W로 정해진다. 먼저 열역학적 과정 중 단열과정은 피스톤 계에 열이 출입하지 않는 열역학적 과정이다.

 

그림 4. 단열이 된 피스톤 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 2』, p.125]

 

단열의 조건은 Q=0이고, 이에 따라 단열과정의 열역학 제1법칙은 아래 식과 같다.

​

단열과정

■

​

단열과정의 특징은 아래와 같이 정리할 수 있다.

1. 계가 외부로 일을 하면(부피 증가) 내부에너지는 감소한다.
2. 계가 외부로부터 일을 받으면(부피 감소) 내부에너지는 증가한다.

​

​

열역학적 과정: 등적과정 | Isochoric Process

등적과정은 일정한 부피 하에서 일어나는 열역학적 과정으로 피스톤을 고정시켜서 (과정을) 구현한다.

열역학 제1법칙 식에 대입하면,

​

등적과정

■

​

등적과정의 열역학 제1법칙 식을 쉽게 유도할 수 있다. 특징으로는 부피가 일정한 상태에서 열을 흡수하면 곧장 계의 내부에너지가 증가한다.

​

열역학적 과정: 순환과정 | Cyclic Process

순환과정이란, 계가 변화를 거친 후 다시 처음 상태로 되돌아오는 일련의 열역학적 과정을 뜻하는데,

이기 때문에,

​

순환과정

■

​

이라는 결과식을 얻을 수 있다.

그림 5. 기체의 순환과정

 

 

​

순환과정의 특징 중 하나는 [그림 5]와 같이 pV 곡선이 폐곡선을 이룬다는 점이다. 즉, 순환 과정을 pV 도표로 표현하면 닫힌 도형을 만든다.

​

열역학적 과정: 자유팽창과정 | Free Expansion Process

그림 6

 

단열이 된 실린더에 분리막을 설치해 먼저 기체의 부피에 경계 [그림 6] 를 만든다. 분리막 너머에는 기체가 존재하지 않는 진공인 공간이 존재하는데, 분리막을 순식간에 없애면 기체는 곧장 진공영역을 향해 '자유'롭게 '팽창'한다.

• 진공을 향해 기체가 팽창하기 때문에 피스톤에 작용한 외력이 없고, 이 때문에 기체가 한 일 또한 없다.
• 기체가 진공으로 들어갈 때 저항인 압력 또한 받지 않으므로 일을 하지 않는다.

​

단열된 용기 안에서 진공상태로 갑자기 팽창하면,

을 만족한다.

​

그리고 이를 열역학 제1법칙에 대입하면,

​

자유팽창과정

■

​

결과식을 얻을 수 있다.

​

위의 4가지 과정에 대한 제한조건과 결과식은 아래 표와 같이 정리된다.

 

​