【미분적분학 노트 Ⅱ】 04. 현실세계에서 순간 변화율과 함수의 극한

 

현실 세계에서 순간 변화율

Rate Change of a Function at a Specific Point in the Real Life

 

함수의 변화율

미분적분학 노트 1의 【03. 접선과 순간변화율】에서 우리는 함수의 변화율(rate change of a function)에 대해 알아 보았다. 현실 세계에 존재하는 측정 가능한 물리량(위치, 농도, 에너지 등)은 많은 경우 '시간(t)'에 따라 그 양이 변할 수 있는 데, 이 때문에 (시간에 따라 변하는 물리량)/(시간 변화량)의 일반식을 세울 수 있다.

그림 1

 

[그림 1]과 같이 시간 t에 따라 어떤 물리량 y의 양이 우상승할 때, 그 정도(degree)는 변화율 공식,

로 나타낼 수 있다.

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그림 2. 성장률의 평균 변화율 [출처: 『Calculus for Biology and Medicine』, Claudia Neuhauser, & Marcus Roper, 2018, p.143]

 

예를 들어, 어떤 개체의 성장률(成長率, growth rate)을 [그림 2]와 같이 조사하였다고 하자. x축 시간의 구간 Δt를 잡을 때, 개체 N의 평균 성장률은 다음과 같이 쉽게 식을 세울 수 있다.

[그림 2]에 따르면 시간 간격 Δt는 h만큼이므로, 풀어 쓰면,

이고, 마저 정리하면,

이다.

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평균 변화율로 순간 변화율 찾기

변화율 그래프의 양상을 보면 x축의 간격 변화에 따라 y축의 간격 변화가 '따라서(followed)' 발생하고, 이는 곧 기울기로 반영됨을 직관적으로 확인할 수 있다. 만약 h=2인 경우,

그림 3

 

[그림 3]과 같이 기울기가 나타난다.

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h를 1(h=1)로 줄이면,

그림 4

 

[그림 4]와 같이 기울기가 조금 완만해지는데, h를 계속 줄여,

그림 5

 

[그림 5]와 같이 h=0.5으로 두면 기울기는 더욱 완만해짐과 동시에 y(x=a+h)의 지점이 y(x=a)로 점점 다가감을 알 수 있다.

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두 점을 극단적으로 좁혔을 때, Δt는 매우 작은 값을 갖는다. 하지만 Δt를 아무리 줄여도 두 지점은 결코 만날 수 없다(Δt≠0). 왜냐하면 기울기 공식은 유리함수의 꼴이고, 유리함수 p(x)/q(x)에서 q(x)는 0이 될 수 없기 때문이다.

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극한의 도입

현실 세계는 항상 변화하고, 그 변화를 파악하기 위해 수학자들은 변화율의 정도인 기울기를 도입했다. 기울기 식으로는 어떤 시간 간격에서의 평균 변화율을 알 수 있었지만, 17세기 무렵부터는 자연 세계에 대한 미시적 관찰이 강조되며 더 짧은 순간의 변화율을 정밀하게 계산하는 데 몰두했다.

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순간 변화율을 구하기 위해 (1)Δt를 0에 가까울 정도로 두어, (2)두 점(y(t)) 또한 어떤 한 지점에 만날 것처럼 가까워지게 했는데, 이는 마치 (1)x가 어떤 값 a에 가까워질 때, (2)함수값 f(x)가 어떤 값 L에 가까워지는 극한 현상과 매우 유사했다.

• 함수 또는 수열의 극한을 먼저 배우는 이유는 같은 논리의 (함수) 순간 변화율을 쉽게 '계산'하기 위함이다.

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극한의 존재는 다음 식을 만족하면 된다.

 

극한 값 L은 좌극한도 L이고 동시에 우극한도 L일 때만 존재한다.

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순간 변화율: 평균변화율의 극한값

평균 변화율로부터 순간 변화율을 계산하는 과정은 어떤 함수 그래프에서 좌극한, 우극한을 구해 이 둘이 같을 경우 극한 값 L을 찾는 것과 같다.

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따라서 함수의 변화율(평균변화율)로부터 순간 변화율의 식은 아래와 같이 정의한다.

[그림 2]은 성장률의 '평균 변화율'이었던 반면,

그림 6. 성장률의 순간 변화율 [출처: 『Calculus for Biology and Medicine』, Claudia Neuhauser, & Marcus Roper, 2018, p.143]

 

같은 내용의 '순간 변화율'은 [그림 6]의 접선(tangent line)으로 나타난다.

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접선

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순간 변화율을 계산할 때 중요한 사실은 순간 변화율이란, 특정한 순간의 함수값이 아니라 어떠한 함수의 지점에서 좌극한과 우극한 값이 같은 L이라는 점이다. 다만 현실에서의 많은 변화(물리, 화학적 변화 등)는 계단식(step-like) 보다는 그 양상이 매우 연속(continuous)하기 때문에 연속한 함수에서 극한값을 함수값인 것처럼 취급한다.

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• 함수 연속의 세 가지 조건

• 함수 연속의 세 가지 조건을 만족하면, 극한값은 곧 함수값이라 할 수 있다.

어떤 함수 f(x)가 x=c에서 연속하면, 극한값과 함수값은 서로 같다.

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위는 극한 계산에서 직접대입성질이라 한다.

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극한의 직접대입성질

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f가 다항식이거나 유리함수이고, a가 f의 정의역 내에 존재하면 위의 직접대입성질을 이용할 수 있다.

• 다항함수의 극한 계산을 위해 함수의 식에서 x 대신 a를 대입한다.
• 분모가 0이 되지 않는 경우에 한하여, 유리함수의 극한을 계산하기 위해 함수의 식에 x 대신 a를 대입한다.

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예제 1

 

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차분몫 Vs. 도함수

Difference Quotient Vs. Derivative

 

그림 7

 

함수의 변화율에서 소개한,

 

는 평균 변화율, 또는 차분몫(difference quotient)이라고도 불린다.

- h=(x+h)-x

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한편,

는 순간 변화율, 그래프 접선, 또는 도함수(derivative)라고도 불린다.

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​	차분몫	도함수
기하학	할선(secant) 할선의 기울기(slope of the secant line)	접선(tangent) 접선의 기울기(slope of the tangent line)
변화율	평균 변화율	순간 변화율
응용	평균 속도 비용, 수입, 이윤의 평균 변화율	순간 속도 한계 비용, 한계 수입, 한계 이윤

같은 개념이 다양하게 불리는 것은 그 개념의 사용처(기하학, 해석학, 물리학, 경제학 등)에 기인한다.