【미분적분학 노트 Ⅱ】 02. 극한의 방향성 (feat. 헤비사이드 함수)

 

극한의 정의

Definition of a Limit

 

연못 속 산소 농도는 연못 생태계를 유지하는 핵심적인 수치로, 시간이 장기적으로 지났을 때 그 양을 극한 개념을 이용해 계산할 수 있다. 극한(limit)이란, x가 어떠한 값 a에 가까워질 때, 함수값 f(x)가 어떤 값 L에 가까워지는 '현상' 또는 그 값 'L'을 뜻한다.

 

그림 1. x가 어떤 값(2)에 가까워 질 때, f(x)는 극한 값(4)에 가까워 진다. [출처: 『Calculus for the Life Sciences』, Raymond N. Greenwell et al., 2nd ed., 2015, p.176]

 

표로 x와 f(x)를 정리했을 때, 극한은 [그림 1]과 같이 나타낼 수 있으며, 수식으로는,

 

라고 쓴다.

• f(x): 함수값, x→a일 때 함수값은 f(a)이다.
• L: 극한 또는 극한값

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만약,

라는 극한이 있을 때, 읽는 방법은 다음과 같다.

• 한글: x가 2를 향할 때(접근할 때), f(x)의 극한은 4이다.
• 영문: The limit of f(x) as x approaches 2 is 4.

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극한 개념은 x가 a에 접근할 때, (1)x=a는 고려되지 않으며, (2)a 근방에서 함수 f가 어떻게 정의되는 지가 관건이다.

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극한의 필요충분조건: 좌극한과 우극한

Necessary and Sufficient Condition of a Limit: Limit from the Left, and the Right

 

 

그림 2

 

그래프 y=f(x)=x^2[그림 2]에서 x가 2에 접근할 때 극한값은 아래와 같이 쉽게 구할 수 있다.

도식적으로는 [그림 2]의 빨간 화살표(좌극한)와 파란 화살표(우극한)가 만나는 특정 지점이 극한값이 되는데, 수식적으로는 아래와 같이 쓴다.

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극한의 필요충분조건

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극한의 필요충분조건은 극한 값이 존재하기 위한 핵심으로, 극한이 존재한다고 가정했을 때, 극한 값 L의 경향은 그래프의 왼쪽에서 가까워질 때(좌극한)도 L이어야 하고, 오른쪽에서 가까워질 때(우극한)도 L이어야 함을 뜻한다.

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좌극한과 우극한은 일방향성을 띠는 극한 값들로 각각은 아래와 같이 쓴다.

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먼저 좌극한은,

이다. 여기서 (-)부호는 x축 좌표상에서 더 작은(-) 값들로부터 극한 값을 향해 접근함을 의미한다.

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한편 우극한은,

이다. 여기서 (+)부호는 x축 좌표상 더 큰(+) 값들로부터 극한 값을 향해 접근함을 의미한다.

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결국 극한의 일반적 정의는 x가 '양방향 또는 모든 방향으로부터' a로 접근함을 전제한다.

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극한과 함수값은 다르다

 

그림 3

 

 

예를 들어, [그림 3]과 같은 그래프의 함수는 다음과 같이 쓴다.

 

• 그래프의 유효한 함수값으로 만족되는 동그라미는 채워진 동그라미 ●이다. 빈 동그라미 ○는 공간적으로 존재할 뿐, 실제 함수값은 아니다.

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여기서 x→1로 접근시킬 때 극한은,

로 쉽게 구해진다. 극한값은 극한의 필요충분조건으로 구하면 된다.

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하지만 문제는 그래프의 함수에서 x=1이면, 그 값(함수값)은 100이라는 점이다.

[그림 2]와 같이 '원만한(smooth)' 함수의 그래프에서는 극한값과 함수값이 서로 같지만, [그림 3]과 같이 '엇갈린(discrete)' 함수 그래프에서는 그 값이 충분히 다르기도 하다.

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위와 같은 사실로부터 x→a는 다음과 같이 해석 가능하다. ⇒ x→a는 절대 x=a가 아니다. 오히려 x는 a의 값에 매우 가까워질 뿐, 영영 x=a가 될 수 없다.

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헤비사이드 함수

Heaviside Function

 

Oliver Heaviside, 1850-1925

 

 

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극한값과 함수값이 대비가 극명한 그래프로 헤비사이드 함수를 들 수 있다. 영국의 전기공학자 헤비사이드(Oliver Heaviside, 1850-1925)가 고안한 그래프로 형태는 [그림 4]와 같다.

 

그림 4

 

 

계단 형태를 띠어 헤비사이드 계단 함수로도 불리는데, x=0에서 값이 0에서 1로 급격히 변화되는 불연속 함수이다. 헤비사이드 함수는 신호 처리, 스위치 온/오프 제어 등 현재 매우 다양한 곳에서 활용된다. 그리고 그래프 식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

불연속 지점(불연속점)인 x=0은 사용 목적 및 분야에 따라 c라는 상수 값을 중간에 포함하기도 한다.

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그래프의 양상은 아래와 같이 정리할 수 있다.

• x<0 구간에서는 0의 값을 유지하다가, x>0 구간에서는 1의 값을 '갑자기' 유지한다.
• x=0 지점에서 불연속이 발생하는데, 이를 점프 불연속(jump discontinuity)이 발생했다고 표현한다.
• 헤비사이드 함수의 x≠0이 아닌 모든 점에서 도함수는 0이다.
• 헤비사이드 함수의 x=0 지점에서는 미분이 불가능하다. 즉, 헤비사이드 함수의 x=0는 미분 불가능점이다.

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[그림 4]에서 x=0인 지점에서의 좌극한과 우극한은 다음과 같이 구할 수 있다.

이 둘의 극한값(일방향 극한값)은 서로 일치하지 않으므로, L값은 존재하지 않는다.

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