【미분적분학 노트 Ⅱ】 01. 작은 각도 근사(소각근사) (feat. 진자운동의 운동방정식)

 

작은 각도 근사(소각근사)

Small-angle Approximation

 

작은 각도 근사란, 각도 θ가 매우 작을 때 삼각함수를 간단한 식으로 근사하는 방법이다. 예를 들어 아래와 같은 직각삼각형[그림 1]이 있다고 하자.

그림 1

 

소각근사에서는 직각삼각형 각도 θ가 0에 가까워질수록,

이며,

라 한다. 이때 θ는 반드시 라디안 단위여야 한다.

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기하학적 증명

여기서는 기하학적 증명으로 소각근사의 식들을 증명한다.

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우선 직각삼각형에서 삼각함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

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여기서 θ는 빗변과 밑변 사이의 각이다.

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이제 소각근사를 위해 θ를 줄이면, [그림 2]와 같이 줄어드는데,

 

그림 2

 

빗변과 밑변 사이의 각을 극단적으로 줄이면, 이 둘은 결국 [그림 3]과 같이 포개어질 것이다.

그림 3

 

위와 같이 포개어졌을 때 직각삼각형은 두 가지 특징을 갖는다.

1. 빗변과 밑변은 거의 같은 값으로 둘 수 있다.
2. 높이는 거의 0에 수렴한다.

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cos함수의 경우,

식을 따르는데 θ가 극도로 작아지면 밑변과 빗변의 길이을 거의 같은 것으로 둘 수 있으므로, cos의 소각근사 값은,

이다.

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또한 높이가 거의 0이므로, 높이 항이 들어간,

두 함수는 0에 수렴한다.

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또한 tanθ는 사실,

인데, θ값이 극단적으로 작아지면 cosθ는 1이고, 따라서 대입하면,

로 결국,

 

임을 수식적으로도 쉽게 계산할 수 있다.

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작은 각도 근사 | Small-angle Approximation

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위의 작은 각도 근사는 θ에 작은 각도를 대입하여 확인할 수도 있다.

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테일러 전개를 이용한 증명

삼각함수의 테일러 전개 중 sin, cos, tan 함수의 테일러 전개는 각각 다음과 같다.

 

여기서 θ가 매우 작으면,

는 0으로 취급할 수 있다.

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따라서, 위 내용을 정리하면 작은 각도 근사 공식과 정확히 같은 내용이 도출된다.

테일러 전개로 풀어쓴 삼각함수 식의 첫 항은 곧 작은 각도 근사한 결과이다.

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진자 운동: 작은 각도 근사의 활용

Pendulum: Application of Small-angle Approximation

그림 4. 진자의 물리량 [출처: Wikipedia, "Pendulum"]

 

진자(振子, pendulum)란, 중력장 내 고정된 축을 중심으로 앞뒤로 흔들리는 물체를 뜻하며, 이 진자의 운동은 '주기성'을 띠기 때문에, 특별히 진자 운동이라고 부른다. 진자는 종류에 따라 여러 가지 이름이 있으나 여기서는 길이가 일정한 줄에 매달린 질량이 있는 추 형태의 단진자(simple pendulum)를 다룬다.

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단진자는 [그림 4]와 같이 구성되어 있으며, 다음 요소를 포함한다.

1. 질량 m: 진자 끝에 매달린 추의 질량
2. 줄의 길이 L
3. 중력 가속도 g
4. 각도 θ: 진자의 평형위치로부터 벗어난 각도로 평형위치는 대개 수직선으로 나타난다.

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진자 운동의 운동 방정식

진자의 운동은 Newton의 운동 방정식으로 유도된다.

• 진자에 작용한 힘은 중력과 장력이다.
• 단진자에서 중력은 mg로 줄의 각도에 따라 두 성분으로 분해 가능하다. 특히 줄의 방향과 수직인 성분은 아래 식을 따른다.

위 힘 성분이 진자 운동을 유발한다.

• 장력은 줄을 따라 작용하나 진자는 줄을 따라 움직이지 않는다. 진자는 원을 따라 움직이며 따라서 운동을 만드는 힘은 접선 방향(tangent)의 힘뿐이다.
• 진자가 오른쪽으로 기울어졌을 때, 중력은 항상 왼쪽으로 끌어당긴다. 즉, 위 식의 (-)는 진자 운동이 스프링과 같이 복원력에 의한 운동임을 뜻한다.

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진자는 원을 따라 움직이기 때문에, 원운동의 접선가속도,

를 도입하고 여기서 α는 각가속도로,

이다.

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위의 접선가속도 개념을 포함해, 길이가 L인 진자 운동방정식 F_tan=-mgsinθ를 다시 정리하면,

이 된다.

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소각근사 적용

위 진자 운동방정식에서 각도 θ가 포함된 sinθ은 θ가 실제로 작을 때(진폭이 작을 때),

를 적용할 수 있고, 따라서 운동방정식은,

가 된다.

• 양변을 mL로 나눈 뒤, 좌변으로 모든 항을 옮겼다.

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위 공식은 단순조화운동의 미분방정식이다.

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단조화 진동자 미분방정식

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작은 각도 근사는 일반적으로 θ=15도 이하의 각도에서만 적용 가능하다. 큰 각도에서는 오차가 그만큼 커지므로 실제는 보정이 필요하다.