【미분적분학 노트 Ⅱ】 03. 함수의 연속성

이전 챕터에서 우리는 극한의 정의를 배우면서, 극한과 함수값이 서로 다른 예를 살펴보았다.

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그런데 만약,

인 경우엔, 함수 f는 x=a에서 연속(連續, continuous)한다고 한다.

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그래프 상에서 함수의 연속(continuity)이란, 직관적으로 "연필을 종이에서 떼지 않고 그래프를 그렸을 때, 이 그래프의 함수는 연속이다."라고 설명한다. 예를 들어, y=x, y=sin(x) 등 일상적으로 만나는 함수들은 연필을 떼지 않고 모두 한 획으로 그릴 수 있고 이는 연속함수이다.

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함수 연속의 세 가지 조건

Three Conditions of a Function f Continuous at x=a

 

함수 f가 x=a에서 연속하기 위해서는 세 가지 조건을 포함해야 한다.

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함수 연속의 세 가지 조건

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세 가지 조건은 "함수 f가 임의의 점에서 연속이다."라는 명제의 필요충분조건으로, 특히 마지막 문장은 (1)x=a에서 f의 극한이 존재하며, (2)그 값은 f(a)가 되어야 함을 함축한다.

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연속성 검사

 

그림 1

 

함수 연속의 세 가지 조건에 따르면, 함수가 연속하는 지를 확인하기 위해 세 가지 항목을 검사(연속성 검사)해야 한다.

• 단, 위에서 c는 specific point를 뜻한다.

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예를 들어 [그림 1]의 함수 그래프를 보고 a, b, c 지점의 연속성에 대해 설명해보자.

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1. x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다. ⇒ 불연속
2. x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의된다. 그러나 극한값은 정의되지 않는다. 왜냐하면 좌극한과 우극한이 서로 다르기 때문이다. ⇒ 불연속 (좌극한은 ●이고, 우극한은 ○이다.)
3. x=c에서 f(a)는 ●이다. 그리고 극한값은 ○로 좌극한-우극한 모두 같은 값을 향한다. 그러나 함수값과 극한값이 서로 다르다. ⇒ 불연속

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함수의 연속성은 연속성 검사의 3가지 사항을 모두 통과해야지만 '연속한다'고 할 수 있고, 이외에는 모두 불연속한(discontinuous) 것으로 취급한다.

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불연속 함수

그림 2. 불연속 함수의 유형 [출처: 『Calculus Volume 1』, Edwin Jed Herman, & Gilbert Strang, p.184]

 

불연속한 함수 또한 수학적으로 3가지 유형으로 분류할 수 있다.

1. 제거 가능한 불연속(removable discontinuity)
2. 점프 불연속(jump discontinuity)
3. 무한 불연속(infinite discontinuity)

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[그림 2]의 그래프는 불연속 함수의 유형을 나타내며 직관적으로 세 가지 유형의 특징은 아래와 같이 설명된다.

1. 제거 가능한 불연속은 그래프에 구멍이 하나 있는 경우이다.
2. 점프 불연속은 함수의 양쪽 그래프가 서로 뚝 끊어져 점핑한 듯한 형태이다.
3. 무한 불연속은 수직 점근선(vertical asymptote)이 존재하는 위치를 경계로 무한히 이어진 경우이다.

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예를 들어,

에서 x=1은 정의되지 않지만,

는 존재한다. 따라서 이 함수는 x=1에서 제거 가능한 불연속 함수라 할 수 있다.

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그림 3. 헤비사이드 함수

 

[그림 3]과 같은 헤비사이드 함수는 jump discontinuity로 분류된다.

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닫힌 구간에서의 연속성

 

그림 4

 

[그림 4]와 같이 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속함을 판단하기 위해서는, 아래의 세 조건을 만족해야 한다.

1. 열린 구간 (a, b)에서의 모든 점에서 연속이다.
2. 왼쪽 끝점 x=a에서는 오른쪽에서 연속이다.
3. 오른쪽 끝점 x=b에서는 왼쪽에서 연속이다.

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특히 2번과 3번의 설명은 각각 다음을 만족한다.

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먼저 함수 f가 x=c에서 오른쪽에서 연속함은,

를 만족하는 경우이다. 즉, x가 c보다 큰 값에서 c로 가까워질 때의 극한이 실제 함수값과 같아야 한다.

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반대로 함수 f가 x=c에서 왼쪽에서 연속함은,

를 만족하는 경우이다. 즉, x가 c보다 작은 값에서 c로 가까워질 때의 극한이 실제 함수값과 같아야 한다.

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연속 함수 목록

연속함수의 성질을 만족하는 함수는 크게 6가지로 다음과 같이 정리할 수 있다.

• [그림 5], [그림 6], [그림 7]을 통해 연속인 구간을 도식적으로 확인한다.

 

함수 종류		연속인 구간 및 조건
다항함수		모든 실수 x
유리함수		y=p(x)/q(x)에서 q(x)≠0인 모든 실수 x
무리함수		y=√(ax+b)에서 ax+b≥0인 모든 실수 x
지수함수		모든 실수 x
로그함수		x>0인 모든 실수 x
삼각함수		사인함수, 코사인함수: 모든 실수 x 탄젠트함수: (x≠nπ+(π/2), n은 정수)인 모든 x

그림 5. 다항함수, 유리함수, 무리함수, 지수함수의 일반적 그래프 경향

 

그림 6. 로그함수의 일반적 그래프 경향

 

그림 7. 사인, 코사인, 탄젠트 함수의 일반적 그래프 경향