【미분적분학 노트 Ⅱ】 05. 적용: 퍼텐셜에너지로 힘 구하기 (feat. 보존력)

 

지난 챕터 【미분적분학 노트 Ⅱ - 04. 현실세계에서 순간 변화율과 함수의 극한】에서 우리는 아래와 같은 중요한 사실을 학습했다.

 

어떤 함수 f(x)가 연속한 함수라면, 극한값과 함수값은 서로 같다고 할 수 있다.

 

어떤 함수에서의 순간 변화율을 알기 위한 극한 계산에서, 위 사실은 극한의 직접대입성질의 직접적 근거가 된다.

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퍼텐셜에너지

Potential Energy(PE)

 

그림 1. 책은 퍼텐셜에너지를 저장하고 있다.

 

[그림 1]과 같이 중력으로 상호작용하는 책과 지구의 시스템을 떠올려 보자. 이 시스템은 외부의 에너지 유출입이 없는 고립계이며, 책은 특정한 위치에서 에너지를 갖는다. ⇒ 이때 책이 저장한 에너지를 퍼텐셜에너지라 하며, 책-지구 시스템 안의 배열이 깨졌을 때(책을 바닥으로 놓았을 때), 그 에너지는 운동에너지로 변화한다.

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즉, ​퍼텐셜에너지(potential energy, PE)는 계의 각 구성요소(2개 이상)가 갖는 배열상태(arrangement)에 기인한 저장된 에너지이다.

• 계의 구성요소들이 가질 수 있는 배열상태의 변화로는 위치 이동, 회전 등이 있다.

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중력 퍼텐셜에너지

 

그림 2

 

[그림 2]와 같이 어떤 물체를 천천히 지면으로부터 들어올리면 외력(external force)이 한 일(work)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

외력과 물체의 이동방향이 서로 같기 때문에, W_ext는 양수부호다.

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그러나 중력의 관점에서 같은 행위의 일은 물체와 힘의 이동방향이 서로 다르기 때문에, 아래와 같이 해석된다.

• (y_f)-(y_i)>0이다.
• (-)부호: 중력의 방향성을 나타냄과 동시에 결과적으로 work 식에서는 변위와 중력의 방향이 정반대임을 나타낸다.

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위는 중력이 한 일로, 물리학자들은 공통적으로 묶을 수 있는 항 mgy를 중력 퍼텐셜에너지(gravitational potential energy)로 정의했다.

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중력 퍼텐셜에너지

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<의미>

• m: 물체의 질량
• g: 중력가속도
• y: 기준점으로부터 떨어진 높이

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그리고 (중력) 퍼텐셜에너지의 차이는 Δ를 써서 다음과 같이 정의한다.

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퍼텐셜에너지의 차이(변화량)

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<의미>

• U_f: 나중 (중력) 퍼텐셜에너지
• U_i: 처음 (중력) 퍼텐셜에너지

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위에서 아래첨자 g가 생략된 이유는 ΔU식이 '다양한 종류의' 퍼텐셜에너지의 차이(변화량)를 보편적으로 표현할 수 있기 때문이다.

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일과 퍼텐셜에너지의 차이 공식을 조합하면, 퍼텐셜에너지의 일표현을 얻을 수 있다.

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퍼텐셜에너지의 일표현

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중력 퍼텐셜에너지로 위의 표현을 확장하면,

 

인데, (-)부호가 들어가야 하는 이유는 다음과 같다.

1. 물체를 위로 움직이면 중력이 한 일 W는 (-)부호를 갖는다. 하지만 중력 퍼텐셜에너지는 '증가(+)'하는 데, 이 둘의 부호를 맞추기 위해 중력 퍼텐셜에너지 변화량인 ΔU에 (-)부호를 첨가한다.
2. 물체를 아래로 움직이면 중력이 한 일 W는 (+)부호를 갖는다. 하지만 중력 퍼텐셜에너지는 '감소(-)'하는 데, 이 둘의 부호를 맞추기 위해 중력 퍼텐셜에너지 변화량인 ΔU에 (-)부호를 첨가한다.

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퍼텐셜에너지로 힘 구하기(보존력)

Calculating the Force by Using PE(Conservative Force)

 

일 공식에 힘의 항이 들어간 것을 반영하여 퍼텐셜에너지를 구했듯, 퍼텐셜에너지로도 힘의 공식을 구하는 방법이 있다. 퍼텐셜에너지와 힘의 관계는 아래 식을 따른다.

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보존력

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미분을 극한으로 정의하면,

이다.

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퍼텐셜에너지 공식으로 유도된 힘을 특별히 보존력(conservative force)이라 하고, 물리학에서 보존력으로 분류되는 힘은 다음과 같다.

• 중력
• 탄성력
• 만유인력
• 전기력, 자기력

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중력과 만유인력은 힘의 원천은 같으나 힘이 작용하는 규모(scale)를 반영하여 여기서는 분리해 설명한다.

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보존력의 핵심적인 특징 중 하나는, 보존력은 항상 계(시스템)의 가장 낮은 위치에너지를 갖도록 작용한다는 점이다.

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또한, 위 보존력은 모두 거리(r)에 의존하므로,

로 쓰기도 한다.

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보존력 식으로 각 힘 구하기: 중력, 탄성력, 그리고 전기력

먼저, 중력 퍼텐셜에너지 mgh를 활용해 힘을 구하면 다음과 같다.

보존력으로서 중력 F 식에는 (-)부호가 붙는데 이는 항상 지표면으로부터 아래 방향으로 작용함을 뜻한다.

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탄성력은 【미분적분학 노트 - 39. 적용: 용수철과 탄성 퍼텐셜에너지】에서 소개한 탄성 퍼텐셜에너지,

를 보존력 식에 대입하여 풀 수 있다.

전기력의 경우는 전기 퍼텐셜에너지,

가 알려져 있으므로, 이를 보존력 식에 마찬가지로 대입해 풀 수 있다.

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<의미>

• k_e: 쿨롱 상수
• q, q_0: 두 개의 전하가 가진 전하량
• r: 두 전하 사이에 떨어진 거리

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계산 결과는 전자기학에서 유명한 쿨롱 법칙의 전기력 크기와 정확히 일치한다.