【미분적분학 노트 Ⅱ】 07. 적용: 열역학 제1법칙 <PART 2> (feat. 등온과정, 등적과정, 등압과정, 단열과정)

 

사전 지식

앞선 챕터 【미분적분학 노트 Ⅱ - 적용: 열역학 제1법칙 <PART 1>】에서 계(界, system)의 내부에너지 변화량은 계로 출입하는 열 Q와 일 W에 의해 결정된다고 배웠다.

위는 열역학 제1법칙의 공식으로 각 항은 다음과 같이 정의된다.

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이상기체가 하는 일 W

피스톤 계에서 실린더의 부피 변화에 의해 계는 일을 하거나(부피 증가) 일을 받는데(부피 감소), 기체 실린더가 한 일은 다음 식을 따른다.

여기서 실린더 내부에 있는 기체는 '이상기체(ideal gases)'인데, 열역학에서 이상기체의 거동은 모두 이상기체 방정식을 따른다.

 

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【물리학 - 열역학】 02. 이상기체 상태방정식

 

 

이상기체 방정식은,

이며, 물리량은 다음과 같이 요약할 수 있다.

1. p: 기체의 압력으로 기체 분자가 작용한 압력으로 주로 해석한다.
2. V: 기체의 부피로 기체 입자들이 자유롭게 움직이며 차지할 수 있는 공간 자체를 뜻한다. 단, 기체 분자 자체의 크기와는 무관하다.
3. n: 기체의 몰수
4. R: 기체 상수
5. T: 절대 온도

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위에서 기체 상수 R은 기체의 부피와 압력 곱을 에너지 단위로 쓰느냐 혹은 부피×압력 단위인 [L·atm]으로 쓰느냐에 따라 두 가지 숫자 값을 갖는다.

 

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열 Q의 출입에 의한 계의 절대 온도 T의 변화

그림 1

 

열 Q는 계와 환경 사이의 온도 T의 차이에 의해 '이동하는 에너지'의 한 형태이다. 즉, 물리학에서 열 Q는 일상 용어에서의 열과는 다르게 어떤 개체 또는 시스템이 보유할 수는 없고, 그저 개체나 시스템의 온도를 변화시키는 '에너지의 흐름'이다.

• [그림 1]과 같이 환경과 계 사이의 열 Q는 둘 사이의 온도 T간의 대소관계에 따라 그 흐름성이 결정된다.
• 열이 계로 흐르면 계는 에너지를 얻는데, 이는 계의 온도로 반영된다.

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pV 도표

그림 2. pV 도표에서 피스톤이 한 일 값 [출처:  『David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker - Fundamentals of Physics - Volume 1』, p.558]

 

열역학적 과정의 정량적 계산은 [그림 2]의 pV 도표로부터 출발한다. x축을 부피 V, y축을 압력 p로 두며 곡선 아래의 면적은 기체가 한 일이다. 초기 상태인 i에서 최종 상태인 f로 이동하는데, 이때 곡선의 방향선이 오른쪽이면 W>0의 양의 일이고, [그림 3]과 같이 왼쪽 방향선이 나타나면 W<0의 음의 일이다.

 

그림 3

 

 

등온 과정

Isothermal Process

 

계의 열역학 과정은 세 개의 변수가 어떤 식으로 변하는 지에 따라 다음과 같이 나뉜다.

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1. 등온과정: 계의 온도가 일정하게 유지되는 열역학적 과정
2. 등적과정: 계의 부피가 일정하게 유지되는 열역학적 과정
3. 등압과정: 계의 압력이 일정하게 유지되는 열역학적 과정
4. 단열과정: 계와 주위와의 열과환이 없는 열역학적 과정
5. 자유팽창과정: 진공 속으로의 팽창으로 인해, 한 일과 열교환이 모두 없는 열역학적 과정, 위의 단열과정에 연관된다.

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가장 먼저 등온 과정에 대해서 알아보자.

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그림 4. 등온 과정 pV 도표 [출처: eigenplus.com]

 

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열역학적 과정에서 등온과정이란,

한 조건을 갖는다. 따라서 pV=nRT 식에 대입해,

라는 관계식을 유도할 수 있는데, 이는 [그림 4]와 같은 그래프에 기체의 성질 중 보일의 법칙을 만족한다.

그림 5. 서로 다른 온도에서의 등온 과정 pV 도표 [출처:  『David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker - Fundamentals of Physics - Volume 1』, p.594]

 

만약 서로 다른 T에 대해 등온과정의 pV도표는 [그림 5]와 같이 그릴 수 있다. 초기 온도 T가 높을수록 곡선은 y축 위를 향한다. ⇒ 또는 온도가 올라가도 [그림 5]와 같이 상승시켜 그릴 수 있다.

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또 하나의 특징은 온도 T가 constant이기 때문에, 내부에너지의 변화량 ΔE_int 또한 0이다.

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등온 과정의 일 W는 다음과 같이 구한다. 우선 기체가 한 일,

에 p는 이상기체 상태방정식을 활용해 V에 대한 함수로 고칠 수 있다.

위의 p를 W식의 p에 대입하면,

이고, 몰수 n, 기체상수 R, 온도 T는 모두 상수이므로 적분 기호 밖으로 빼면,

이다.

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부정적분,

이고, 정적분으로 고쳐 적분을 풀어주면,

이다.

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마지막으로 로그의 성질 ln(a)-ln(b)=ln(a/b)이므로 이를 이용해 정리하면 등온과정에서의 일 값을 구할 수 있다.

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등온과정에서의 일

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등적 과정

Isochoric Process

 

그림 6. 등적 과정 pV 도표 [출처: eigenplus.com]

 

등적과정은 부피변화가 없으므로,

한 조건을 갖는다.

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그리고 열역학 제1법칙에 이를 대입하면,

의 관계식을 얻는데, 이는 열이 모두 내부에너지 변화에 사용됨을 뜻한다. 부피 변화가 존재하지 않는 실린더의 예로 단단히 밀폐된 용기를 들 수 있다.

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등적 몰비열 | Molar Specific Heat at Constant Volume

등적 몰비열이란, 부피가 일정하게 유지된 상태에서 기체 1몰의 온도를 1K만큼 올리는 데 필요한 열량을 뜻한다. 열역학적으로 부피가 일정하면 가해준 열량 Q는 온전히 기체의 내부에너지를 올리는데만 사용되는데, Q에 대해 아래와 같은 수식을 쓸 수 있다.

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등적과정에서의 열

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등압 과정

Isobaric Process

 

그림 7. 등압 과정 pV 도표

 

등압 과정은 압력 p가 일정하는 조건 때문에, pV 도표는 [그림 7]과 같은 수평선으로 그려진다. 압력이 일정하기 때문에 일,

 

은 아래,

와 같이 변한다.

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등압 몰비열 | Molar Specific Heat at Constant Pressure

등압 몰비열이란, 압력이 일정하게 유지된 상태에서 기체 1몰의 온도를 1K만큼 올리는 데 필요한 열량을 뜻한다. 열역학적으로 압력이 일정한 상태에서 열을 가하면 (1)기체의 온도가 올라가는 동시에 (2)부피가 팽창하면서 외부에 일(W=pΔV)을 하는데, 가해준 열 Q에 대해 아래와 같이 수식을 쓸 수 있다.

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등압과정에서의 열

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등적과정에서의 열을 Q_V라고 한 반면, 등압과정에서의 열은 Q_p로 쓴다.

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등압과정에서의 열은 내부에너지를 올림과 동시에 외부에 일을 하는 것에도 쪼개어져 사용된다.

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Julius von Mayer, 1814-1878

 

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독일의 물리학자 마이어스(Julius von Mayer, 1814-1878)는 등압 몰비열이 등적 몰비열보다 항상 큰 이유를 다음과 같이 정리했다.

 

동일한 온도 1K를 올리기 위한 열로, 등적과정에서는 공급된 열이 오롯이 온도 상승에만 쓰인다.
하지만 등압과정에서는 공급된 열이 계를 팽창하는 데 또한 분산되어 사용되므로,
결과적으로 같은 1K를 올리기 위해 등압 과정에서 열이 더욱 많이 필요하다.

 

그리고 마이어스를 이를 종합한 등적, 등압 과정에서의 비열 C에 관한 관계식(마이어의 관계식)을 세웠다.

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마이어의 관계식 | Mayer's Relation

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단열 과정

Adiabatic Process

 

단열 과정은 주위와의 열교환이 없는 과정으로 Q=0이다. 외부와의 열교환이 완전히 차단된 상태에서 일어나는 것으로, 열교환의 부재로 인해 기체가 일을 하면 내부에너지가 줄어들어 온도가 떨어진다. (단열 팽창)

 

반대로 외부에서 기체를 압축하면 내부에너지는 증가해 기체의 온도가 올라간다. (단열 압축)

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자동차의 실린더는 연료와 공기의 혼합기체가 매우 빠른 속도로 압축, 팽창하는데 단열과정의 결과를 직관적으로 이해할 수 있는 좋은 예이다.

1. 단열팽창: 기체가 일을 하면 기체의 온도가 떨어진다.
2. 단열압축: 기체가 일을 받으면 기체의 온도가 증가한다.

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단열 압축이 급격하게 발생할 경우엔 점화플러그가 불꽃을 일으키기 전에 혼합기체가 스스로 폭발하기도 하는데 이를 자동차 노킹(knocking) 현상이라 하며, 엔진의 성능을 감소시킨다.

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그림 8. 단열 과정 pV 도표

 

단열 과정의 pV도표는 등온과정(isotherm) 보다 훨씬 가파른 기울기를 갖는 것이 특징이다. 단열 과정에서는 압축과 팽창의 부피 변화가 반드시 계의 온도 변화를 야기하기 때문에, 단일한 pV 곡선이 아닌 '서로 다른 온도 T에서의 isotherm 곡선 사이를 건너뛰는 듯한 거동'을 보인다.