【미분적분학 노트 Ⅱ】 08. 좌표계와 벡터

 

선행학습

물리학 /고전역학 - 05. 좌표계】

https://blog.naver.com/moduphysics/223882380349

【물리학 - 고전역학】 05. 좌표계

 

물리학을 위한 수학 - 02. 좌표변환 - 2차원 좌표계】

https://blog.naver.com/moduphysics/224078104403

【물리학을 위한 수학】 02. 좌표변환 - 2차원 좌표계

 

물리학을 위한 수학 - 04. 좌표변환 - 3차원 좌표계】

https://blog.naver.com/moduphysics/224081604905

【물리학을 위한 수학】 04. 좌표변환 - 3차원 좌표계

 

 

물리학 /고전역학 - 07. 벡터 <PART 1>】

https://blog.naver.com/moduphysics/223885679337

【물리학 - 고전역학】 07. 벡터 <PART 1>

 

물리학 /고전역학 - 08. 벡터 <PART 2>】

https://blog.naver.com/moduphysics/223889983934

【물리학 - 고전역학】 08. 벡터 <PART 2>

 

 

핵심 내용 리뷰

Review: About Coordinate Systems and Vectors

 

좌표계

자연과학의 많은 문제는 2차원 좌표계로 풀리는데, (1)평면직각좌표계(데카르트 좌표계)와 (2)평면극좌표계가 대표적이다.

• 2차원 좌표계는 이미 평면을 가정하고 있으므로, 많은 경우 직각좌표계(데카르트 좌표계), 극좌표계로 간단히 불린다.
• 직각좌표계와 극좌표계를 공부함에 있어 핵심은, 직각 좌표 (x, y)와 극좌표 (r, θ)가 반대되는 좌표 값으로 변환(變換, transformation)이 가능하다는 점이다.

 

 

3차원으로 확장되는 경우, 좌표계 요소는 3개로 늘어나고 3개의 좌표계에 대해 다음과 같은 변환식을 갖는다.

 

 

2차원에서 직각좌표를 극좌표로 극좌표를 직각좌표로 변환하였듯, 3차원에서도 (3차원 벡터의) 세 좌표계는 서로에 대해 변환이 가능하다.

​

벡터

벡터에 관한 학습은 크게 아래 항목들을 순차적으로 배운다.

1. 벡터의 표현: 성분 벡터(벡터), 성분(스칼라), 단위 벡터
2. 벡터의 성질: 벡터 동등성, 벡터 덧셈, 음의 벡터, 벡터 뺄셈, 스칼라량 곱하기(multiplication of a vector with a scalar)
3. 벡터의 연산: 스칼라곱, 벡터곱

​

벡터의 표현

 

그림 1. 벡터 A와 각 성분들

[그림 1]과 같이 벡터 A가 있을 때, 이를 표현하는 방법은 아래와 같다.

직교 좌표계가 아닌 원통, 구면좌표계의 경우에는 안의 벡터 성분(component)이 바뀔 것이다.

​

또한 성분 벡터(component vector) A_x, A_y로 쓰면,

로도 표현할 수 있다.

• 성분 벡터는 벡터량이다. 하지만 성분은 스칼라량이다.
• 성분 벡터의 크기는 성분이다. 성분 벡터의 방향은 단위 벡터(unit vector)가 [그림 2]와 같이 설명한다.

​

그림 2. 단위벡터

​

단위 벡터 x, y, z 또는 i, j, k는 각각 x축, y축, 그리고 z축을 나타내는 방향 벡터로 크기는 1로 둔다.

결국 이에 따르면 벡터 A는 또한,

이기도 하다.

​

그림 3

즉, 다시 말해서 [그림 3]과 같은 성분벡터는,

로 쓸 수 있다.

​

벡터의 성질

벡터의 성질은 【물리학 /고전역학 - 08. 벡터 <PART 2>】를 참고하기 바란다.

​

그림 4

단, [그림 4]와 같은 벡터 A의 성분을 활용한 크기값과 각도는 매우 빈번히 활용되므로 한 번 더 강조한다.

• 크기

• 방향

​

벡터 학습 항목 중 벡터의 연산은 실전 문제풀이를 통해 설명하겠다.