【미분적분학 노트 Ⅱ】 11. 적용: 스칼라곱 - 선속(Flux)

 

그림 1. 면적 A의 직사각형 안으로 흐르는 유체(속도 v) [출처: 『(Young & Freedman) University Physics with Modern Physics』, p.721]

 

 

만약 유체가 [그림 1]과 같이 왼쪽에서 오른쪽으로 일정하게 흐를 때, 면적 A를 갖는 직사각형을 생각해보자. 직사각형을 통과하는 유체의 부피 유량(volume flow rate)은 다음과 같은 식을 따른다.

단위는 [m^3/s]이다.

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부피 유량 식의 유도: 유체의 부피 V

 

그림 2

 

[그림 2]와 같이 원 면적 A에 대해 흐른 유체의 부피는 시간이 흐름에 따라 실린더(원기둥) 형태로 나타낼 수 있다. 이 원통 부피가 바로 어떤 특정 면적을 지난 유체의 부피가 되며, 이는 일반적인 부피 공식인,

에 항들이 모두 대응된다.

• 부피: 시간 t 동안 면적 A에 흐른 유체의 총 부피
• 면적: [그림 2]의 원 면적 A
• 이동거리: 유체의 속력 v에 시간 Δt를 곱한 값 = vΔt

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시간 Δt를 미소 시간 dt로 고치면 이동거리 또한 v(dt)가 되며, 부피 또한 미소 부피 dV로 바뀐다.

dt를 극도로 짧은 순간인 미소 시간으로 간주하면, 양변에 (1/dt)를 곱해,

와 같이 식을 만들 수 있는데, 여기서 dV/dt는 유체의 부피 유량이다.

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부피 유량

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그림 3. 면벡터

 

어떠한 면에 대해 [그림 3]과 같이 수직한 벡터 A를 그릴 수 있는데, 이를 면벡터라 하고, 면벡터의 단위벡터는 hat n으로 둔다.

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면적 벡터(면벡터)

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부피 유량은 면에 대해 유체의 흐름 v가 완벽하게 수직할 때만 사용할 수 있는 공식이다. 이는 면벡터의 기준에서는 유체의 속도 v와 면벡터 A가 서로 평행할 때이기도 하다.

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면벡터 A와 유체 속도 v의 관계

그림 4. 유체 속도 v에 대해 각도 φ를 갖는 면벡터 A [출처: 『(Young & Freedman) University Physics with Modern Physics』, p.721]

 

다음, 유체의 흐름이 일정한 곳에 직사각형을 [그림 4]와 같이 φ도 만큼 기울였을 때 부피 유량을 구하는 방법을 알아보자.

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직사각형을 각도 φ만큼 기울이면, 흐름의 방향으로 보았을 때 그 면적이 작아진다. 원래 면적이 A인 곳에 기울어진 각도가 φ이면, 흐름에 대해 수직인 방향으로 '투영된 면적 A''은 다음과 같다.

 

그림 5. 투영된 면적 [출처: 『(Young & Freedman) University Physics with Modern Physics』, p.722]

 

[그림 5]와 같이 면벡터와 유체의 흐름(분홍색) 사이각 φ는 두 개의 면적 A와 A⊥이 마주한 부위의 사이각 φ과 같다. ⇒ 엇각

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부피 유량은 면벡터와 유체의 속도 방향이 서로 평행(또는 면과 유체의 방향이 서로 수직할 때)할 때 최대가 된다고 했는데, 위와 같이 기울어지면 실제로 흐름을 통과시키는 유효면적은,

 

이고, 사이각 φ을 고려한 부피 유량은,

식 1

 

 

로 고쳐쓸 수 있다.

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벡터 내적을 이용한 표현

유체의 부피 유량은 방향성을 가진 두 물리량과 그 사이각 φ의 cosφ항[식 1]을 가지므로, dot product로도 표현할 수 있다.

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부피 유량 내적 표현

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내적으로 표현된 부피 유량 식을 풀어 쓰면,

식 2

 

[식 2]와 같다.

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dV/dt는 초당 흘러나가는 유체와 같은 거동을 하는 물질의 부피로 cos0=1일 경우 Q라고도 종종 적으며, (1)유속이 빠르고 (2)지나가는 단면적이 넓을수록 이에 비례하여 커지는 특성을 지닌다.

<의미>

• Q: 시간당 부피의 변화율로 Φ라고도 표기한다.

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혈액의 흐름 부피 유량

부피 유량의 내적 표현은 유체의 흐름과 관련한 모든 내용에 적용 가능한데, 예를 들어 혈액의 흐름을 분석할 때 혈액의 속도 벡터를 v라 했을 때, 혈액 부피 유량은 다음과 같다.

<의미>

 

 

• S는 혈관의 단면으로 ∫dA로 계산된다.

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내적을 풀어쓰면,

 

 

이고, (1)혈관이 원통형이고, (2)속도가 균일하다면(v는 상수),

 

 

로 최종적으로는 Q=vS로 계산된다.

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그림 6

 

 

단, 실제 혈관에서는 혈액 흐름에 층류(laminar flow)가 발생[그림 6]하기 때문에 (1)혈관의 중심부에서는 속도가 크고(v_max), (2)혈관벽에 다가갈수록 속도가 작아짐(v→0)을 반영해야 한다.

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그림 7. 혈관 벽에서의 혈액 속도는 혈관벽과의 마찰에 의해 0으로 가정한다.