【미분적분학 노트 Ⅱ】 13. 적용: 근육과 관절에서의 힘과 토크

 

인체에서 근육, 뼈, 관절 등은 물리학의 정역학(靜力學, statics)이 적용되는 흥미로운 사례다.

 

그림 1. 책을 들고 있을 때 사람의 팔

 

 

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[그림 1]은 사람이 책을 들고 있을 때의 전완과 이에 대응하는 레버 시스템의 모식도이다. [그림 1]의 (b)는 실제 전완을 상당히 잘 근사한다.

• 만약 사람이 책을 들고 '가만히' 있을 때, 시스템은 '평형'상태이며, 이는 아래의 두 가지 조건을 만족한다.

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평형 제1조건: 힘의 균형

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하나의 시스템이 정지 또는 등속도 운동을 하는 상태에서 물체에 걸린 모든 힘의 합 ∑F는 0이 된다.

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평형 제2조건: 토크의 균형

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torque는 회전축 O에서 떨어진 곳에 작용한 힘 F에 의한 물리량으로 앞선 챕터에서,

라는 식으로 구할 수 있음을 학습했다.

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하나의 시스템이 회전축을 두고 더 이상 회전하지 않을 때, 여러 힘에 의한 모든 토크의 합 ∑τ는 0이다.

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이두근이 발휘하는 힘

근육은 수축(contract)만 할 수 있다. 따라서 근육은 쌍으로(in pairs) 존재한다.

1. 굴근(flexor): 굽히는 근육으로 팔에서는 이두(biceps)가 대표적이다. 굴근에 의해 신체의 특정 부위가 굽는다.
2. 신근(extensor): 펴는 근육으로 팔에서는 삼두(triceps)가 대표적이다. 신근에 의해 신체의 특정 부위가 펴진다.

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[그림 1]과 같이 전완과 그 위의 하중(책)을 하나의 시스템으로 생각한다면 총 네 개의 힘이 작용한다.

• F_B: 이두근의 힘
• F_E: 팔꿈치의 관절이 가하는 힘
• w_a: 전완 무게
• w_b: 하중 무게

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우선, 책을 들고 있지만 움직이지 않는 상태는,

인 평형 제1조건을 만족하는 것이며, 위의 4가지 힘 중에 전완의 무게와 하중의 무게는 쉽게 측정 가능하다.

• F_B와 F_E는 미지수로 둔다.
• 팔꿈치의 관절이 가하는 힘 F_E는 팔의 회전축[그림 2]을 지나므로 토크를 만들지 않는다.

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그림 2

 

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다음, 하중이 회전축을 두고 회전하지 않기 때문에 평형 제2조건 또한 만족한다.

• 전완과 책의 무게가 만드는 torque는 회전축에 대해 시계(-) 방향이다.
• 한편 이두근의 힘이 만드는 torque는 회전축에 대해 반시계(+) 방향이다.

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평형 제2조건과 각 힘에 의한 토크의 방향성을 고려하면,

식 1

 

로 식을 둘 수 있다.

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이두근의 힘

이두근의 힘을 F_B라 하면, [식 1]을 변환해,

라고 할 수 있다.

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[그림 1]의 (a)에는 각각의 값들이 주어져 있는데 그 수들을 대입하면,

로, 이두근의 힘은 F_B=470[N}으로 최종 계산된다.

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팔과 하중의 전체 질량은 6.5[kg]인데, 이들의 전체 무게는 약 63.7[N]이다.

이 값을 이두근의 힘과 전체 무게의 비로 두면,

로 계산되는데, 이것은 이두근이 자신을 지탱하고 있는 무게의 약 7.38배에 해당하는 힘을 발휘한다는 것을 의미한다.

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위와 같은 근육 구조는 척추 동물의 골격근에서 일반적으로 나타난다. 골격근에서 팔다리는 외부에 가하는 힘보다 신체 내부에서 훨씬 큰 힘을 발휘한다. 왜냐하면 대부분의 근육은 관절 가까이에서 힘줄(tendon)을 통해 뼈에 부착이 되었기 때문이다.

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관절 내부에서 발생하는 힘

힘 F_E는 팔꿈치의 관절이 가하는 힘으로 두 개의 평행 조건 연립방정식을 풀면 407[N]으로 계산된다. 이는 지탱하는 전체 무게의 약 6.38배로, 관절 내부에서도 외부에서의 하중보다 훨씬 더 큰 힘이 발생함을 뜻한다.

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근육은 수축만 될 뿐 자연적인 길이 신장이 불가능해 능동적으로 힘을 낼 수 없다. 따라서 관절과 근육은 종종 서로 반대 방향의 힘을 만들어내며 결과적으로 상쇄된 힘을 만들어 낸다. 이두근의 힘 F_B와 팔꿈치의 관절이 가하는 힘 F_E는 서로 반대되어,

으로 계산되는데, 이 값은 전완과 책의 전체 무게인 63.7[N]과 거의 같다.

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즉, 근육의 위쪽 힘에서 관절의 아래쪽 힘을 뺐을 때, 그 부위가 지탱할(리프팅할) 수 있는 무게 값이 계산된다.

• 근육과 관절에서 발생하는 힘은 하중이 관절로부터 멀리 떨어져 있을수록 커진다.

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