【미분적분학 노트 Ⅱ】 15. 가속도의 평행 성분과 수직 성분 (feat. 접선 가속도와 지름 가속도)

 

2차원 평면에서의 가속도

Acceleration in Two Dimension

 

그림 1. 포물선 경로에서의 가속도 a [출처: 『(Young & Freedman) University Physics with Modern Physics』, p.70]

 

[그림 1]과 같이 벡터량인 속도 벡터가 v_1에서 v_2로 변화할 때 속도의 변화량은,

이다.

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이때 이 값을 시간 Δt에 대해 나눈 뒤, Δt를 0에 근사(approaching)하면 가속도 벡터를 다음과 같이 얻을 수 있다.

• 순간 가속도 벡터로 운동학에서는 '가속도'라고 약칭한다. ⇒ 운동학에서 가속도라는 용어는 일반적으로 순간 가속도 벡터를 의미한다.

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위의 가속도 벡터는 직교좌표계에서 component와 unit vector를 활용해 다음과 같이 풀어쓸 수 있다.

여기서 a_x, a_y, a_z[그림 2]는 각각 다음과 같다.

 

각 성분은 대응하는 속도 성분의 시간에 대한 미분 값이다.

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순간 가속도 벡터

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그림 2. 가속도 성분 a_x, a_y [출처: 『(Young & Freedman) University Physics with Modern Physics』, p.71]

 

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가속도의 평행 성분과 수직 성분

Parallel and Perpendicular Components of Acceleration

 

그림 3. 가속도의 평행(parallel, tangent) 성분과 수직(perpendicular, normal) 성분 [출처: 『(Young & Freedman) University Physics with Modern Physics』, p.72]

 

가속도 벡터는 각 축에 대한 방향의 성분으로 순간 가속도 벡터 공식과 같이 표현할 수 있다. 그런데 가속도 벡터를 생각하는 다른 유용한 방법이 있다. 가속도는 (1)입자의 운동 경로 및 속도에 평행(parallel)한 성분과 (2)입자의 운동 경로 및 속도에 수직(perpendicular)한 성분[그림 3]으로 나눌 수 있다.

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가속도를 두 성분을 나눈 이유는, 운동하는 물체에 가속도는 (1)'속력' 또는 (2)'방향'을 변화시킬 수 있기 때문인데,

 

 

로 두 가속도 성분을 역할 별로 정리할 수 있다.

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가속도의 평행 성분과 수직 성분은 방향성 때문에 자주 (1)접선 가속도(평행 성분), (2)지름 가속도(수직 성분)라고도 불린다.

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그림 4. 굽은 도로를 지나는 자동차의 속도

 

[그림 4]와 같이 자동차가 굽은 도로를 지날 때, 자동차는 (1)속력을 줄이는 동시에, (2)방향을 전환해야 한다. P1에서의 순간속도 v_1와 P2에서의 순간속도 v_2는 서로 크기와 방향이 모두 다른데, 이는 자동차에 평행 가속도와 수직 가속도가 모두 작용했기 때문이다.

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그림 5. 속도의 변화량 방향은 평균 가속도 벡터의 방향과 서로 같다.

 

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식,

의 방향은 [그림 5]의 첫 번째 그림과 같이 나타낼 수 있다. 그리고 이 속도의 변화량 방향은 평균 가속도 벡터의 방향과도 일치한다.

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평행 성분의 작용: 가속도와 속도가 같은 방향일 경우 (방향 일정, 속력 변화)

가속도의 평행 성분이 속도(+)의 방향과 같으면,

이고, 짧은 시간 간격 동안 속도 변화 벡터 Δv 또한 가속도와 같은 방향이다.

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그림 6. 속력의 증가

 

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가속도의 평행 성분만 작용하면 입자는 시간 간격 Δt 동안 직선으로 운동하면서 속력이 증가[그림 6]한다.

• 가속도 성분 중 평행 성분'만' 속도에 작용하면, 그 입자의 속력'만' 증가하고 방향은 바뀌지 않는다.​

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수직 성분의 작용: 가속도와 속도가 서로 수직한 경우 (속력 일정, 방향 변화)

가속도의 수직 성분만 작용하면,

이고, 짧은 시간 간격 Δt 동안의 속도 변화 벡터 Δv는,

그림 7. 방향의 전환

 

[그림 7]과 같이 가속도의 수직 성분 방향을 향한다.

• 가속도 성분 중 수직 성분'만' 속도에 작용하면, 그 입자의 방향'만' 가속도의 수직 방향을 향하고 속력은 바뀌지 않는다.

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그림 8

 

[그림 8]과 같이 자동차가 일정한 속력으로 원형 트랙을 따라 움직일 때, 자동차에는 수직 성분의 가속도만 작용한다. ⇒ 이 내용은 등속 원운동(uniform circular motion)하는 입자를 기술하는 데도 활용된다.

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혼합형

실제 대부분의 곡선 운동에서 가속도는 평행 성분과 수직 성분을 모두 갖는다.

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가속도

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따라서, 물체는 방향과 속력이 동시에 변한다.

• 가속도의 평행성분은 입자의 속력 변화를 결정한다.
• 가속도의 수직성분은 입자의 방향 변화를 결정한다.

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속력의 증가와 감소: 법선을 기준으로

가속도의 평행 성분은 입자 운동에서 속력의 증감을 결정한다. 만약, 오른쪽으로 이동하는 입자의 속도를 (+)라 두었을 때,

이면, 평행 성분은 속도 벡터와 같은 방향이고 이는 입자의 속력의 증가시킨다.

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반면,

이면, 평행 성분은 속도 벡터와 반대 방향이고 이는 입자의 속력을 감소시킨다.

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그림 9. 법선(normal)과 가속도 [출처: 『(Young & Freedman) University Physics with Modern Physics』, p.72]

 

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만약 어떤 입자가 P 지점으로부터 v라는 속도로 이동하고 있을 때, 이에 수직하는 법선(normal at P)을 [그림 9]와 같이 그릴(그을) 수 있다. 이 법선으로부터 가속도 벡터 a가 속도 벡터 v에 가깝다면 이 가속도의 평행 성분은 입자의 속력을 증가시킬 것이다. 그러나 이 법선으로부터 가속도 벡터 a가 속도 벡터 v로부터 떨어져 있다면 이 가속도의 평행 성분은 입자의 속력을 감소시킬 것이다.

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