【미분적분학 노트 Ⅱ】 16. 등속 원운동

 

이전 챕터에서 가속도의 두 가지 성분은 각각 아래와 같은 운동 효과를 낳는다고 했다.

1. 가속도 평행성분: 가속도와 속도가 서로 평행(서로 같은 방향)하면, 방향은 일정하고 속력만 변하는 운동을 만든다. ⇒ 직선 상의 등가속도 운동
2. 가속도 수직성분: 가속도와 속도가 서로 수직(서로 수직한 방향)하면, 속력은 일정하고 방향만 변하는 운동을 만든다.

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두 번째 가속도 수직성분은 물체의 원운동(圓運動, circular motion)을 만드는데, 이 수직 성분이 원의 지름 상에서 표현될 수 있기에 지름 가속도라고도 불린다.

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그림 1. 원운동하는 입자의 속도 변화량 Δv [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.183]

 

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[그림 1]과 같이 반지름 r로 모두 일정한 완벽한 원 궤도 상의 운동을 특별히 등속 원운동(uniform circular motion)이라 한다. 등속 원운동은 반지름이 r인 경로를 따라 일정한 속력 v로 움직이는 운동으로, 속력이 일정하더라도 운동 방향이 매순간 계속 바뀌므로 속도 벡터가 변하여 가속도가 발생한다.

 

 

그림 2. 구심 가속도 a_c [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.184]

 

 

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등속 원운동의 방향 변화는 구심 가속도(centripetal acceleration) a_c[그림 2] 때문이다. 구심 가속도의 방향은 항상 원의 중심을 향하며 크기 식은 다음과 같다.

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구심 가속도 크기

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등속 원운동의 분석

Analysis on Uniform Circular Motion

 

등속 원운동에서 구심 가속도 공식(구심 가속도 크기)은 아래와 같은 절차로 유도 가능하다.

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[1] 위치의 변화

처음 위치벡터를 r_i, 나중 위치벡터를 r_f로 두었을 때 위치벡터의 변화량은 다음과 같다.

[2] 속도의 변화

처음 속도벡터를 v_i, 나중 속도벡터를 v_f로 두었을 때 속도벡터의 변화량은 다음과 같다.

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등속 원운동 하는 물체가 특정 위치 A에서 B로 이동했다고 할 때, 둘(위치, 속도)의 변화량을 도식적으로 표현하면 [그림 3]과 같다.

그림 3. 입자가 A에서 B로 이동하였을 때 위치, 속도의 변화량

 

또한 속력 v로 등속 원운동하는 물체의 속력 크기는 항상 일정하므로,

를 만족한다.

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[3] 두 벡터 변화량의 관계

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물체가 원 위에서 Δθ만큼 이동했다고 하면,

그림 4

 

 

 

[그림 4]와 같이 위치벡터 변화량과 속도벡터 변화량을 표현할 수 있고, 이때 둘이 이루는 각은 서로 같다. ⇒ 두 위치벡터가 이루는 각과 두 속도벡터가 이루는 각의 크기가 서로 일치한다. 두 변 사이의 각도가 같고 이 두 변의 길이비 또한 같으면, 두 삼각형은 닮은꼴이다.

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닮은꼴 삼각형의 관계에 의해,

라는 식을 세울 수 있고, 이 식을 |Δv|에 대해 고치면,

와 같다.

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[4] 평균가속도의 크기

평균 가속도의 정의는,

이고 여기서 크기는 속도벡터의 변화량에 절대값을 취한,

이다.

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앞에서 구한 |Δv|를 대입하면,

인데, 여기서 시간 간격 Δt를 0에 근사하면,

순간 속도의 크기 값이고 이를 대입하면,

로 구심 가속도의 크기를 최종적으로 구할 수 있다.

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구심 가속도

구심 가속도의 크기는,

이다.

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그리고 구심 가속도는 등속 원운동을 하게 하는 원인으로, 이미 가속도의 방향은 속도(벡터)에 대해 항상 수직함을 강조했다.

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등속 원운동에서 속력의 크기는 일정하나 속도벡터의 방향은 계속 변하는데, 속도 벡터의 변화량,

의 방향을 살펴보면[그림 1], Δt가 작아질 수록 위 벡터의 방향이 원의 중심을 향함을 알 수 있다.

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결국 구심가속도의 방향은,

이다.

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주기 T

Period T

 

주기(period)란, 물체가 원을 한 바퀴 완전 회전하는 데 걸리는 시간으로 T라 적는다. 원의 둘레는 2πr이기 때문에 등속 원운동하는 물체는 한 주기 T 동안 2πr만큼 움직인다.

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속력의 정의에 따라 등속 원운동하는 물체의 속력을,

로 적을 수 있는데, 여기서 양변에 (T/v)를 곱하면 등속 원운동하는 물체의 주기 식을 얻을 수 있다.

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등속 원운동하는 물체의 주기

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등속 원운동하는 물체의 속력

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구심 가속도의 크기 식에 등속 원운동하는 물체의 속력 v를 대입할 수 있다.

정리하면,

이다.

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주기로 나타낸 구심 가속도 크기

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