【미분적분학 노트 Ⅱ】 14. 벡터로 표현한 운동 - 위치, 속도, 가속도

 

복습: 일차원에서의 운동

Review: Motion in One Dimension

 

일차원 상에서의 물체의 움직임은 위치(하나의 숫자로 표현)를 시작으로 아래와 같은 물리량들로 표현이 가능하다.

• 변위(displacement)
• 평균속도(average velocity)
• 순간속도(instantaneous velocity)
• 평균속력(average speed)
• 순간속력(instantaneous speed)

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위의 물리량은 가속도 a가 없는 운동 물리량들로, 변위(위치 x의 변화량),

시간 t의 조합으로 모두 표현 가능하다.

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다음 가속도 a는 아래 식들을 따른다.

• 평균 가속도(average acceleration)
• 순간 가속도(instantaneous acceleration)

속도는 시간에 대한 위치의 변화율이었다면, 가속도는 시간에 대한 속도의 변화율이다. 평균 변화율은 단순히 Δ(나중값-초기값)를 연산하여 구할 수 있지만, 순간 변화율은 (시간에 대한) 미분 연산으로 계산된다.

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등가속도 직선운동 공식: 운동학 식

가속도가 일정한 상태를 등가속도(等加速度, constant acceleration)라 하며 이와 관련한 대표적인 움직임으로 자유낙하(自由落下, free fall motion)[그림 1]를 들 수 있다.

그림 1. 시간에 따른 자유낙하 운동 물체의 이동거리(distance) 변화 [출처: Javalab, "Analysis of Free Fall Motion"]

 

 

 

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등가속도 운동 물체는 시간에 따라 속도가 매초 일정한 비율로 증가 또는 감소하는 데, 이를 반영한 운동학 식(kinematic equation)이 특히 중요하다.

• 식 1: 가속도로부터 속도 구하기

등가속도 운동을 하는 물체의 최종 속도 v를 구하는 식으로 가속도의 정의로 부터 쉽게 유도할 수 있다.

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• 식 2: 속도, 가속도로부터 위치 구하기

등가속도 운동을 하는 물체의 최종 위치 x를 구하는 식으로 평균 속도(초기 속도와 나중 속도의 평균값)로부터 유도할 수 있다. 속도-시간(v-t) 그래프로 등가속도 운동을 나타내면,

그림 2. 등가속도 운동을 하는 물체의 v-t 그래프 [출처: 『(Knight) University Physics for the Life Sciences』, p.65]

 

[그림 2]와 같은 사다리꼴 면적이 나타나는데, v-t 그래프에서 면적은 총 변위(total displacement)이므로 계산하면,

와 같이 식의 각 항들을 정리할 수 있다.

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• 식 3: 변위, 가속도로부터 속도 구하기

마지막 식은 시간에 관한 정보가 없을 때, 초기 속도, 가속도, 변위 사이의 관계를 이용해 최종 속도의 제곱 값을 구하는 방법이다.

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위에서 소개한 식 1을,

t에 대해 정리한 뒤, 이를 식 2의 변위 식,

에 대입하면,

를 얻는다. 이후 양변에 2a를 곱해주면 최종적으로,

로 식 3을 유도할 수 있다.

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위치 벡터, 속도 벡터, 가속도 벡터

Position Vector, Velocity Vector, and Acceleration Vector

 

그림 3. 3차원에서의 위치 P [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.158]

 

위의 Review에서 다룬 물리량은 1차원에 한정된 내용으로, 2차원 또는 [그림 3]의 3차원에서는 그 개념이 확장되어야 한다. 이를 위해 각 물리량에 벡터 성분이 적극적으로 고려된다.

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위치와 변위

2차원 또는 3차원에서의 운동 기술을 위해서는 좌표계와 각 좌표축의 방향이 정해져야 하며, [그림 3]과 같이 어떤 물체가 시간 t에 위치 P에 위치한다면,

라고 쓸 수 있다.

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위치벡터 | Position Vector

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그림 4. 3차원에서의 위치 P의 변화 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.159]

 

 

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위치 P에 있던 물체는 시간의 흐름에 따라 다른 위치로 이동할 수 있다. 이때 원래 위치를 P_1, 나중 위치를 P_2라 명명할 수 있는데, 이때 위치의 변화를 변위라 하며 이는 변위 벡터[그림 4]로 표현가능하다. 원래 위치에서의 시간을 t_1, 나중 위치에서의 시간을 t_2라 했을 때 각각의 위치벡터는,

 

와 같이 쓸 수 있고, 변위란 나중 위치에서 처음 위치를 뺀 값이므로,

라 할 수 있다.

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변위 벡터 | Displacement Vector

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그림 5. 시간에 따른 입자의 경로(path)와 변위 벡터의 크기

 

처음 위치를 아래 첨자 i, 나중 위치를 아래 첨자 f로 표기했을 때, 변위 벡터는

와 같이 쓸 수도 있다.

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또한 [그림 5]의 입자의 이동 경로(이동 거리)와 변위 벡터 크기를 비교했을 때, 아래와 같은 관계식을 쓸 수 있다.

물체의 이동거리는 곡선일 수 있으나 변위 벡터는 항상 직선이므로, 변위벡터는 절대 이동 경로의 크기를 넘지 않는다.

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속도

시간이 Δt만큼 변할 때 변위가 또한 Δr만큼 변했다면,

라고 쓸 수 있고, 이는 평균 속도 벡터이다.

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평균 속도 벡터

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평균 속도 벡터의 방향은 변위 벡터와 같다. 즉, 물체의 실제 경로와는 무관하게 출발점, 도착점만을 고려한 변위의 방향이 곧 평균 속도의 방향이다.

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또한 위의 Δt를 점점 줄였을 때, 평균 속도는,

와 같이 쓸 수 있다.

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그리고 미분의 정의에 의해 순간 속도 벡터를 다음과 같이 정의할 수 있다.

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순간 속도 벡터(순간 속도)

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그림 6. 순간 속도의 기하학적 특성 [출처: 『Principles of Physics_A Calculus-Based Text』, p.70]

 

순간 속도는 Δt가 충분히 작을 때의 값으로, 방향은 운동경로의 접선[그림 6]을 향한다.

• 순간 속도 벡터의 방향은 그 순간 입자가 진행하고 있는 방향을 가리킨다.

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순간 속도의 방향 일치성 때문에, 순간 속도의 크기인 순간 속력 v는 관계식,

를 또한 만족한다.

• v: 순간 속력

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가속도

그림 7.  속도의 변화량 [출처: 『Principles of Physics_A Calculus-Based Text』, p.70]

 

만약 벡터로 표현된 속도가 v_i에서 v_f로 변했다면, 속도의 변화량[그림 7]은,

이고, 이것은 시간에 대해,

라는 평균 가속도 벡터 식으로 나타낼 수 있다.

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평균 가속도 벡터

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Δt를 충분히 작게 잡으면, 평균 가속도 벡터는,

와 같이 쓸 수 있는데, 미분의 정의에 의해 순간 가속도 벡터(순간 가속도)를 아래와 같이 정리할 수 있다.

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순간 가속도 벡터(순간 가속도)

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변위, 속도, 가속도의 관계

변위, 속도, 그리고 가속도 간의 핵심적인 관계는 아래와 같다.

그리고 적분의 개념을 활용하여 역산을 하면, 속도와 변위를 다음과 같이 쓸 수도 있다.

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속도 적분식

 

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변위 적분식

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