미분적분학(calculus): 미적분학, 미분과 적분에 관한 수학적 셈의 한 분야로 속도나 면적 등의 계산적 도구로 발명되어졌다가 해석학으로 증명됨
미분이라는 단어는 특히 한국어 수학교재에서 혼용되어 쓰이나 영문으로는 다음과 같은 특징을 보인다.
함수
Functions
함수(function)란, 수학적으로는 두 집합 사이의 관계를 설명하는 논리적 개념으로 주로 한 변수에 대한 다른 변수의 변화를 기술하는 데 사용된다.
함수의 수학적 해석
어떤 집합 X, Y에 대한 함수 f는 다음을 만족하는 대응관계로 정의한다.
- 임의의 원소(element) x∈X에 대해, 그에 대응하는 원소 y∈Y가 유일하게 존재한다.
- 집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이라 한다.
- 원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of the function), 또는 상(image)이라 하고, f(x)로 표기한다.
- 치역(range): 모든 함수값을 모은 집합, f(X)로 표기한다.
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또한 어떤 양의 변화는 많은 경우, 또 다른 양의 변화와 연관이 있다. 이탈리아의 물리학자이자 천문학자였던, 갈릴레오(Galileo Galilei, 1564~1642)는 물체가 떨어지는 거리가 시간의 제곱에 비례한다는 사실을 발견했다.
미분에 대한 접근
Approach to Differentiation
[그림 1]을 통해 함수는 다음과 같이 변화함을 알 수 있다.
미분적분학에서 미분학(differential calculus)은 함수의 변화율을 명확히 기술하는 것이 그 목표이다.
함수의 변화율
Rate of Change of a Function
[그림 2]의 A와 B는 각각 t=t_1일 때 함수 y(t_1)의 값, t=t_2일 때 함수 y(t_2)의 값을 나타낸다.
여기서 델타 Δ는 나중 값 - 처음(기준) 값을 나타낸다.
[그림 2]에서 A와 B를 연결한 직선을 현(chord)이라 하고 그래프 상에서는 이 chord의 기울어짐을 평균 변화율이라 한다.
그래프 상의 chord의 기울어짐은 일반적인 함수의 기울기(slope, 그래디언트)와 같다.
[그림 3]은 t축을 따라 기울기를 (1)양의 기울기, (2)0의 기울기, (3)음의 기울기로 각각 분류한 것이다.
임의의 점에서의 함수 변화율
Rate Change of a Function at a Specific Point
특정한 지점에서의 함수 변화율을 알고 싶다면 (1)구간 Δt를 줄임으로써 (2)결과적으로 B를 A와 가깝게 배치해 (3)A와 최대한 근접한 구간의 기울기를 구함으로써 함수 변화율의 근사값을 구할 수 있다.
어떤 곡선 상의 점 A에서 함수의 변화율이란, 접선의 기울기이다.
참고도서
[대학수학 - 미분적분학] 05. 극한의 성질 (0) | 2023.08.19 |
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[대학수학 - 미분적분학] 04. 한 점에서의 변화율과 도함수 (0) | 2023.08.18 |
[대학수학 - 미분적분학] 03. 심화 - 입실론-델타(엡실론-델타) 논법 (0) | 2023.08.17 |
[대학수학 - 미분적분학] 02. 순간변화율의 계산 - 극한과 구간축소법 (0) | 2023.08.15 |
【공업수학】 미분방정식과 모델링 (0) | 2022.03.12 |