도함수 찾기 - 극한과 구간축소법
앞선 [02. 순간변화율의 계산 - 극한과 구간축소법]에서 배운 내용들을 시작으로, 어떤 함수의 순간 기울기인 도함수 개념을 이끌어 내보자.
3. SIM에 따른 미분의 정의
그림 1
구간축소법을 사용하여 y(x)의 미분값을 찾는 방법을 1차 원리에 의한 미분(differentiation from first principles)이라 한다.
y의 미분(derivative)
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xy그래프에서의 y의 변화율을 y의 미분이라고 부르며, 증분 δx를 0으로 근사시킨 함수 그래프의 어떤 구간은 점으로 축소된다.
미분(differentiation)은 쉽게 말해 y에서 y'을 찾는 절차이다.
도함수 찾기 - 접선
SIM을 응용해, 접선의 정의 또한 유도할 수 있다.
그림 2
[1] 할선의 기울기는 다음과 같다.
[2] 점 Q를 점 P에 접근하도록 하되, x≠a이다.
[3] 접선이란, 곡선 위 어떤 지점 근방에서의 할선 기울기의 극한 값이다.
접선의 정의
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다시 말해 접선은 [그림 2]의 점 Q가 함수의 경로 f를 따라 P에 접근할 때 할선 PQ의 극한에서의 위치이다.
접선의 정의에서 x는 x≠a이므로, 미소 구간 h를 도입해 a+h라는 크기의 길이 값으로 바꿔 쓸 수 있다.
그림 3
같은 그래프임에도 이번에는 두 점을 a와 x 대신, a와 h(증분과 같은 개념)라는 새로운 수로 표현했다.
접선의 정의와 h의 정의를 접목하면, 접선의 일반식을 유도할 수 있다.
접선의 일반식
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도함수 찾기 - 미분계수, 도함수
접선의 일반식은 변화율을 나타낼 때 매우 유용한 개념으로, 수학자들은 이후 여기에 특별한 명칭과 기호를 붙였다.
미분계수(derivative coefficient)
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도함수(derivative)
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x지점에서 f'의 값은 기하학적으로 점 (x, f'(x))에서 f의 그래프에 접하는 접선의 기울기이다.
도함수는 모든 미분의 가장 근본적인 원리이다. 그러나 위의 계산과정은 너무나 많은 시간을 필요로 하고, 또한 복잡하다. 따라서 이런 수고를 덜기 위해 '미분법'을 공부해야 하고, 수많은 예제 풀이를 통해 패턴을 학습(및 암기)함으로써 미분을 기계적으로 할 수 있게 된다.
자주 사용되는 함수-미분 공식
미분은 다양한 함수에 대한 도함수를 구하는 과정으로, 다른 함수의 도함수 또한 같은 방식으로 유도되었다. 많이 사용되는 함수의 미분 공식은 예제를 풀이하면서 암기하도록 하자.
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