【공업수학】 미분방정식과 모델링

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미분방정식(differential equation): 미지 함수의 도함수를 포함한 방정식으로 미지의 함수 f(x)와 그 도함수 간의 관계성을 나타냄

① 상미분방정식(ordinary differential equation; ODE): 한 개의 변수에 의존하는 미분방정식

② 편미분방정식(partial differential equation; PDE): 여러 개의 변수에 의존하는 미분방정식

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모델링(modeling): 관찰한 물리적 상태를 수학적 모델(mathematical model)로 전환하는 일반적인 과정

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Mathematical modeling refers to the process of creating a mathematical representation of a real-world scenario to make a prediction or provide insight.

 

모델링

수학적 모델링(mathematical modeling, modeling): 공학적 문제의 모델(model)을 세우고, 그것을 수학적으로 풀며, 마지막으로 이를 물리적으로 해석하는 일련의 과정

- Mathematical Modeling으로부터 도출된 Model은 물리학의 많은 개념이 도함수로 표현되므로, 미지함수의 도함수를 포함함 ⇒ Model로서 Differential Equations

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미분방정식의 구분

미지함수가 1변수 함수 또는 다변수 함수인지에 따라, (1)상미분방정식과 (2)편미분방정식으로 분류

구분	내용
ODE	미지함수의 도함수를 포함한 방정식 - 1개의 독립변수 x와 1개 이상의 종속변수 y의 도함수만을 포함
PDE	미지함수의 편도함수를 포함한 방정식 - 2개 이상의 독립변수(x, y, ...)와 1개 이상의 종속변수 u의편도함수를 포함 ​ 예: 열전도 방정식, 파동방정식

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만약 미지함수 y의 n계 도함수가 방정식에서 가장 높은 계수의 도함수이면, 이 상미분 방정식은 n계(order n)라고 함

여기서 y'=dy/dx, y''=d^2(y)/d(x^2)임

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1계 미분방정식(first order DE): 최고계 미분항이 1계 미분인 미분방정식

2계 미분방정식(second order DE): 최고계 미분항이 2계 미분인 미분방정식

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1계 미분방정식 Vs. 2계 미분방정식

1. 1계 미분방정식의 표현

① 음함수형(implicit form) 표현

② 양함수형(explicit form) 표현

2. 2계 미분방정식의 표현

① Implicit Form

② Explicit Form

 

미분방정식의 해

해(solution): 만약 함수 h(x)가 어떤 열린구간 a<x<b에서 정의되고, 미분가능하며, y, y'을 각각 h, h'으로 대체할 때 식 F(x, y, y')=0이 항등식이 되는 경우, 함수 y=h(x)를 구간 a<x<b에서의 주어진 상미분방정식의 해라 함

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A function y=h(x) is called a solution of a given ODE F(x, y, y')=0 on some open interval a<x<b if h(x) is defined and differentiable throughout the interval, and is such that the equation becomes an identity if y and y' are replaced with h and h' respectively.

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미분방정식의 해 또는 해 함수는 미분방정식에 대입하였을 때 항등적으로 만족시키는 Solution 또는 함수를 의미

- 미분방정식의 풀이는 미분방정식을 항등적으로 만족하는 독립변수의 함수를 구하는 것

Examples of DEs and Their Solutions  [출처: 『Calculus 2』, Openstax(2017), p.353]

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미분방정식의 해 종류

Fig 1. Family of Solutions to the DE y'=2x  [출처: 『Calculus 2』, Openstax(2017), p.354]

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① 일반해(general solution): 미분방정식을 만족하는 모든 해

- 각 상미분방정식은 임의의 상수 c를 포함하는 데 이 상수를 포함한 해를 General Solution이라 함

- 해의 복소수 식을 피하기 위해 구간으로 제한되기도 함

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② 특수해(particular solution): 주어진 미분방정식을 만족하는 유일한 해

- 일반해에 포함된 임의의 상수 c에 구체적인 값을 지정하고, 유일하게 얻을 수 있는 해

- 임의의 상수에 주어진 조건을 대입하여 적분 상수 c가 없음

- 미분방정식과 초기조건(initial condition)을 동시에 모두 만족하는 해

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③ 특이해(singular solution): 일반해로부터 얻어질 수 없는 특이한 해

- 일반해에 어떠한 임의의 상수를 지정하여도 얻어질 수 없음

- 일반해로부터 표현이 불가능

- 미분방정식으로부터 얻을 수 없음